2023学年高考数学大二轮复习能力升级练三不等式理2.docx

能力升级练(三)　不等式 一、选择题 1.不等式|x|(1-2x)>0的解集为(　　) A.(-∞,0)∪0,12 B.-∞,12 C.12,+∞ D.0,12 解析当x≥0时,原不等式即为x(1-2x)>0,所以0<x<12;当x<0时,原不等式即为-x(1-2x)>0,所以x<0,综上,原不等式的解集为(-∞,0)∪0,12. 答案A 2.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是(　　) A.(-1,0) B.(2,+∞) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.不能确定 解析由f(1-x)=f(1+x)知f(x)图象的对称轴为直线x=1,则有a2=1,故a=2.由f(x)的图象可知f(x)在[-1,1]上为增函数.所以x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,令b2-b-2>0,解得b<-1或b>2. 答案C 3.若a,b∈R,且a+|b|<0,则下列不等式中正确的是(　　) A.a-b>0 B.a3+b3>0 C.a2-b2<0 D.a+b<0 解析由a+|b|<0知,a<0,且|a|>|b|, 当b≥0时,a+b<0成立,当b<0时,a+b<0成立, 所以a+b<0,故选D. 答案D 4.(2023湖州质检)若实数m,n满足m>n>0,则(　　) A.-1m<-1n B.m-n<m-n C.12m>12n D.m2<mn 解析取m=2,n=1,代入各选择项验证A,C,D不成立.2-1<2-1,只有B项成立. 答案B 5.(2023四川绵阳诊断)已知x>1,y>1,且lg x,2,lg y成等差数列,则x+y有(　　) A.最小值20 B.最小值200 C.最大值20 D.最大值200 解析由题意得2×2=lgx+lgy=lg(xy), 所以xy=10000,则x+y≥2xy=200,当且仅当x=y=100时,等号成立,所以x+y有最小值200. 答案B 6.设a>0,若关于x的不等式x+ax-1≥5在(1,+∞)上恒成立,则a的最小值为(　　) A.16 B.9 C.4 D.2 解析在(1,+∞)上,x+ax-1=(x-1)+ax-1+1≥2(x-1)×a(x-1)+1=2a+1(当且仅当x=1+a时取等号).由题意知2a+1≥5.所以a≥4. 答案C 7.某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800元,若每批生产x件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批产品应生产(　　) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 解析设每批生产产品x件,则每件产品的生产准备费用是800x元,仓储费用是x8元,总的费用是800x+x8元,由基本不等式得800x+x8≥2800x·x8=20,当且仅当800x=x8,即x=80时取等号. 答案B 8.(2023湖北孝感调研)“a>b>0”是“ab<a2+b22”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析由a>b>0,可知a2+b2>2ab,充分性成立,由ab<a2+b22,可知a≠b,a,b∈R,故必要性不成立. 答案A 9.已知0<a<1b,且M=11+a+11+b,N=a1+a+b1+b,则M,N的大小关系是(　　) A.M>N B.M<N C.M=N D.不能确定 解析因为0<a<1b, 所以1+a>0,1+b>0,1-ab>0, 所以M-N=1-a1+a+1-b1+b=2-2ab1+a+b+ab>0,即M>N.故选A. 答案A 二、填空题 10.已知不等式mx2+nx-1m<0的解集为xx<-12或x>2,则m-n=　　　　　.  解析由已知得m<0且-12,2是方程mx2+nx-1m=0的两根,∴-12+2=-nm,-12×2=-1m2,解得m=-1,n=32或m=1,n=-32(舍).∴m-n=-1-32=-52. 答案-52 11.设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是　　　　　.  解析设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数), 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. 于是得m+n=4,n-m=-2,解得m=3,n=1. ∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10. 答案[5,10] 12.函数y=x2+2x-1(x>1)的最小值为　　　　　.  解析y=x2+2x-1=(x2-2x+1)+2x-2+3x-1 =(x-1)2+2(x-1)+3x-1=(x-1)+3x-1+2≥23+2. 当且仅当x-1=3x-1,即x=3+1时,等号成立. 答案23+2 13.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为　　　　　.  解析因为x>0,y>0,所以9-(x+3y)=xy=13x·(3y)≤13·x+3y22,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时等号成立.设x+3y=t>0,则t2+12t-108≥0, 所以(t-6)(t+18)≥0,又因为t>0,所以t≥6.故当x=3,y=1时,(x+3y)min=6. 答案6 三、解答题 14.(2023山东潍坊调研)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0上,且m,n为正数,求1m+1n的最小值. 解∵曲线y=a1-x恒过定点A,x=1时,y=1, ∴A(1,1). 将A点代入直线方程mx+ny-1=0(m>0,n>0), 可得m+n=1, ∴1m+1n=1m+1n·(m+n)=2+nm+mn≥2+2nm·mn=4, 当且仅当nm=mn且m+n=1(m>0,n>0), 即m=n=12时,取得等号. 15.(一题多解)设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围. 解要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立, 故mx2-mx+m-6<0, 则mx-122+34m-6<0在x∈[1,3]上恒成立. 方法一　令g(x)=mx-122+34m-6,x∈[1,3]. 当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以g(x)max=g(3)=7m-6<0. 所以m<67,则0<m<67. 当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以g(x)max=g(1)=m-6<0. 所以m<6,所以m<0. 综上所述,m的取值范围是m0<m<67或m<0. 方法二　因为x2-x+1=x-122+34>0, 又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<6x2-x+1. 因为函数y=6x2-x+1=6x-122+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m<67即可. 因为m≠0,所以m的取值范围是m0<m<67或m<0. 7