2023学年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理练习理北师大版.doc

第6讲 正弦定理和余弦定理 [基础题组练] 1．(2023年·湖北武汉调研测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝(　　) A.　　　　　　　 B． C. D． 解析：选B.因为在△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，因为a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，所以cos B＝sin B，所以tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝，故选B. 2．(2023年·江西上饶一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若2S＝(a＋b)2－c2，则tan C的值是(　　) A. B． C．－ D．－ 解析：选C.因为S＝absin C，c2＝a2＋b2－2abcos C， 所以由2S＝(a＋b)2－c2， 可得absin C＝(a＋b)2－(a2＋b2－2ab·cos C)， 整理得sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4， 所以＝4，＝4，化简得3tan2C＋4tan C＝0， 因为C∈(0，π)， 所以tan C＝－，故选C. 3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解析：选B.因为bcos C＋ccos B＝asin A，所以由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A.又sin(B＋C)＝sin A且sin A≠0，所以sin A＝1，所以A＝，所以△ABC为直角三角形，故选B. 4．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝(　　) A. B． C. D．2 解析：选C.因为A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，得c＝2，所以由正弦定理得S△ABC＝acsin B＝，故选C. 5．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝且2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于(　　) A．5＋ B．12 C．10＋ D．5＋2 解析：选A.在△ABC中，∠A＝60°.因为2sin B＝3sin C，故由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝＝bc·sin A，可得bc＝6，所以b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝7，所以a＝，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋，故选A. 6．(2023年·河北衡水模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且有a＝1，sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，则A＝________． 解析：由sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，得sin Acos C＋sin Ccos A＝－bcos A，所以sin (A＋C)＝－bcos A，即sin B＝－bcos A，又＝，所以＝＝－，从而＝－⇒tan A＝－，又因为0<A<π，所以A＝. 答案： 7．(2023年·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________． 解析：法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6. 法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6. 答案：6 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b>c，则＝________． 解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得sin AcosB－sin C－＝0.因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos Asin B＝0，所以cos A＝－，即A＝.由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b>c，所以＝2. 答案：2 9．(2023年·河南郑州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S，且满足sin B＝. (1)求sin Asin C； (2)若4cos Acos C＝3，b＝，求△ABC的周长． 解：(1)因为△ABC的面积为S＝acsin B，sin B＝， 所以4××sin B＝b2，所以ac＝， 所以由正弦定理可得sin Asin C＝＝. (2)因为4cos Acos C＝3，sin Asin C＝， 所以cos B＝－cos(A＋C)＝sin Asin C－cos Acos C＝－＝－， 因为b＝，所以ac＝＝＝＝8， 所以由余弦定理可得15＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝－12， 解得a＋c＝3，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋. 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B． (1)求角B； (2)若b＝2，tan C＝，求△ABC的面积． 解：(1)因为a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B，所以由余弦定理，得2accos B＝abcos A＋a2cos B， 又a≠0，所以2ccos B＝bcos A＋acos B．由正弦定理，得2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin C， 又C∈(0，π)，sin C>0，所以cos B＝. 因为B∈，所以B＝. (2)由tan C＝，C∈(0，π)，得sin C＝，cos C＝，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝. 由正弦定理＝，得a＝＝＝6，所以△ABC的面积为absin C＝×6×2×＝6. [综合题组练] 1．(2023年·安徽六安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC的面积的最大值为(　　) A．4 B．2 C．2 D． 解析：选A.因为在△ABC中，＝， 所以(2a－c)cos B＝bcos C， 所以(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， 所以2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C＝sin(B＋C)＝sin A， 所以cos B＝，即B＝，由余弦定理可得16＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，所以ac≤16，当且仅当a＝c时取等号， 所以△ABC的面积S＝acsin B＝ac≤4.故选A. 2．(2023年·江西抚州二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acos A＝bcos C＋ccos B，b＋c＝3，则a的最小值为(　　) A．1 B． C．2 D．3 解析：选B.在△ABC中，因为3acos A＝bcos C＋ccos B， 所以3sin Acos A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A， 即3sin Acos A＝sin A，又A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos A＝. 因为b＋c＝3，所以两边平方可得b2＋c2＋2bc＝9，由b2＋c2≥2bc，可得9≥2bc＋2bc＝4bc，解得bc≤，当且仅当b＝c时等号成立，所以由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－≥9－×＝3，当且仅当b＝c时等号成立，所以a的最小值为.故选B. 3．(2023年·湖北恩施2月质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的周长为________． 解析：由cos B＝，得sin B＝，由三角形面积公式可得acsin B＝ac·＝4，则ac＝12①，由b2＝a2＋c2－2accos B，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a2＋c2＝24②，联立①②可得a＝c＝2，所以△ABC的周长为4＋4. 答案：4＋4 4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)(acos B＋bcos A)＝abc.若a＋b＝2，则c的取值范围为________． 解析：在△ABC中，因为(a2＋b2－c2)(acos B＋bcos A)＝abc， 所以(acos B＋bcos A)＝c， 由正、余弦定理可得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，所以2cos Csin(A＋B)＝sin C，即2cos Csin C＝sin C， 又sin C≠0，所以cos C＝，因为C∈(0，π)，所以C＝，B＝－A， 所以由正弦定理＝＝，可得a＝，b＝， 因为a＋b＝2，所以＋＝2， 整理得c＝＝＝， 因为A∈，所以A＋∈，可得 sin∈，所以c＝∈[1，2)． 答案：[1，2) 5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos. (1)求角B的大小； (2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． 解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝acos，得asin B＝acos ，即sin B＝cos，可得tan B＝.又因为B∈(0，π)，可得B＝. (2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝. 由bsin A＝acos，可得sin A＝.因为a<c，故cos A＝.因此sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝， 所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝. 6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝60°. (1)若△ABC的面积为3，a＝，求b－c； (2)若△ABC是锐角三角形，求sin Bsin C的取值范围． 解：(1)由S△ABC＝3，得bcsin A＝3， 即bcsin 60°＝3，得bc＝12. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，即b2＋c2－bc＝13， 所以(b－c)2＝13－bc＝1，所以b－c＝1或b－c＝－1. (2)因为A＝60°，所以B＋C＝120°，所以C＝120°－B. 所以sin Bsin C＝sin Bsin(120°－B) ＝sin B＝sin 2B＋ ＝＝sin＋. 因为△ABC是锐角三角形，所以C＝120°－B<90°，得B>30°， 所以30°<B<90°，则30°<2B－30°<150°， 所以<sin(2B－30°)≤1，<sin(2B－30°)≤， 所以<sin(2B－30°)＋≤， 所以sin Bsin C的取值范围是. 7