2023学年高考数学大二轮复习专题突破练18空间中的垂直与空间角理2.docx

专题突破练18　空间中的垂直与空间角 1. (2023北京怀柔模拟,理16)已知在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=12AB=2,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点. (1)证明:CM⊥SN; (2)求直线SN与平面CMN所成角的大小; (3)求二面角B-NC-M大小的余弦值. 2.(2023河北唐山一模,理18)如图,△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°,E,F分别为AB,AC边的中点,以EF为折痕把△AEF折起,使点A到达点P的位置,且PB=BE. (1)证明:BC⊥平面PBE; (2)求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值. 3. (2023河北武邑中学调研二,理19)如图,已知多面体ABC-A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2. (1)证明:AB1⊥平面A1B1C1; (2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. 4. (2023山西太原二模,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,△PCD是正三角形,PC⊥AC,E是PA的中点. (1)证明:AC⊥BE; (2)求直线BP与平面BDE所成角的正弦值. 5.(2023山东实验等四校联考,理18)如图,在直角△ABC中,B为直角,AB=2BC,E,F分别为AB,AC的中点,将△AEF沿EF折起,使点A到达点D的位置,连接BD,CD,M为CD的中点. (1)证明:MF⊥面BCD; (2)若DE⊥BE,求二面角E-MF-C的余弦值. 6. (2023福建漳州质检二,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PAD,AD∥BC,AB=BC=AP=12AD,∠ADP=30°,∠BAD=90°,E是PD的中点. (1)证明:PD⊥PB; (2)设AD=2,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为105,求二面角M-AB-P的余弦值. 7. (2023山西晋城二模,理19)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=∠BCD=90°,∠ADC=60°且AD=CD,BB1⊥平面ABCD,BB1=2AB=2. (1)证明:AC⊥B1D. (2)求BC1与平面B1C1D所成角的正弦值. 8. (2023山东青岛二模,理18)如图,在圆柱W中,点O1,O2分别为上、下底面的圆心,平面MNFE是轴截面,点H在上底面圆周上(异于N、F),点G为下底面圆弧ME的中点,点H与点G在平面MNFE的同侧,圆柱W的底面半径为1,高为2. (1)若平面FNH⊥平面NHG,证明:NG⊥FH; (2)若直线NH与平面NFG所成线面角α的正弦值等于155,证明:平面NHG与平面MNFE所成锐二面角的平面角大于π3. 2023学年参考答案 专题突破练18　空间中的垂直 与空间角 1.(1)证明以A为原点,AB,AC,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则P(0,0,2),C(0,2,0),B(4,0,0),M(2,0,1),N(1,0,0),S(2,1,0), ∴CM=(2,-2,1),SN=(-1,-1,0), ∵CM·SN=2×(-1)+(-2)×(-1)+1×0=0,∴CM⊥SN. (2)解CN=(1,-2,0),设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,则x-2y=0,2x-2y+z=0. 令y=1,则x=2,z=-2. ∴a=(2,1,-2). ∵|cos<a,SN>| =2×(-1)+1×(-1)+02×3=22, ∴直线SN与平面CMN所成角为45°. (3)解由(2)知平面CMN的一个法向量a=(2,1,-2). 又平面BNC的法向量b=(0,0,1),且二面角B-NC-M为锐角, ∴|cos<a,b>| =2×0+1×9+(-2)×11×3=23. ∴二面角B-NC-M大小的余弦值为23. 2.(1)证明因为E,F分别为AB,AC边的中点,所以EF∥BC. 因为∠ABC=90°, 所以EF⊥BE,EF⊥PE. 又因为BE∩PE=E,所以EF⊥平面PBE,所以BC⊥平面PBE. (2)解取BE的中点O,连接PO,由(1)知BC⊥平面PBE,BC⊂平面BCFE, 所以平面PBE⊥平面BCFE. 因为PB=BE=PE,所以PO⊥BE. 又因为PO⊂平面PBE,平面PBE∩平面BCFE=BE,所以PO⊥平面BCFE. 过O作OM∥BC交CF于点M,分别以OB,OM,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,3),C(1,4,0),F(-1,2,0). PC=(1,4,-3),PF=(-1,2,-3), 设平面PCF的法向量为m=(x,y,z),则PC·m=0,PF·m=0, 即x+4y-3z=0,-x+2y-3z=0, 则m=(-1,1,3). 易知n=(0,1,0)为平面PBE的一个法向量, cos<m,n>=-1×0+1×1+3×0(-1)2+12+(3)2=15=55, 所以平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值为55. 3.(1)证明∵A1A⊥平面ABC,B1B⊥平面ABC,∴AA1∥BB1. ∵AA1=4,BB1=2,AB=2, ∴A1B1=AB2+(AA1-BB1)2=22. 又AB1=AB2+BB12=22, ∴AA12=AB12+A1B12,∴AB1⊥A1B1. 同理可得AB1⊥B1C1. 又A1B1∩B1C1=B1, ∴AB1⊥平面A1B1C1. (2)解取AC中点O,过O作平面ABC的垂线OD,交A1C1于点D. ∵AB=BC,∴OB⊥OC,∵AB=BC=2,∠BAC=120°, ∴OB=1,OA=OC=3. 以O为原点,以OB,OC,OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示. 则A(0,-3,0),B(1,0,0),B1(1,0,2),C1(0,3,1),∴AB=(1,3,0),BB1=(0,0,2),AC1=(0,23,1), 设平面ABB1的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=0,n·BB1=0,∴x+3y=0,2z=0. 令y=1可得n=(-3,1,0), ∴cos<n,AC1>=n·AC1|n||AC1|=232×13=3913. 设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ,则sinθ=|cos<n,AC1>|=3913. ∴直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为3913. 4.(1)证明设F是PD的中点,连接EF,CF. ∵E是PA的中点, ∴EF∥AD,EF=12AD, ∵AD∥BC,AD=2BC, ∴EF∥BC,EF=BC, ∴BCFE是平行四边形,∴BE∥CF. ∵AD∥BC,AB⊥AD, ∴∠ABC=∠BAD=90°. ∵AB=BC,∴∠CAD=45°,AC=2, 由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=2, ∴AC2+CD2=4=AD2,∴AC⊥CD. ∵PD⊥AC,∴AC⊥平面PCD, ∴AC⊥CF,∴AC⊥BE. (2)由(1)得AC⊥平面PCD,CD=2, ∴平面ABCD⊥平面PCD. 过点P作PO⊥CD,垂足为O,∴OP⊥平面ABCD,以O为坐标原点,OC的方向为x轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系O-xyz, 则P0,0,62,D-22,0,0,B2,-22,0,E24,-22,64, ∴BP=-2,22,62. 设m=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量,则m·BD=0,m·BE=0, ∴-322x+22y=0,-324x+64z=0. 令x=1,则y=3,z=3,∴m=(1,3,3). ∴cos<m,BP>=m·BP|m||BP|=2613. ∴直线BP与平面BDE所成角的正弦值为2613. 5.(1)证明取DB中点N,连接MN,EN, ∵MN􀱀12BC,EF􀱀12BC, ∴四边形EFMN是平行四边形. ∵EF⊥BE,EF⊥DE,BE∩DE=E, ∴EF⊥平面BED, ∴EF⊥EN,MF⊥MN. 在△DFC中,DF=FC, 又M为CD的中点,∴MF⊥CD. 又MF∩MN=M,MF,MN⊂平面BCD,∴MF⊥平面BCD. (2)解∵DE⊥BE,又∵DE⊥EF,BE∩EF=E,∴DE⊥平面BEF,∴可建立空间直角坐标系,如图所示. 设BC=2,∴E(0,0,0),F(0,1,0),C(-2,2,0),M(-1,1,1), ∴EF=(0,1,0),FM=(-1,0,1),CF=(2,-1,0). 设面EMF的法向量为m=(x,y,z), ∴m·EF=0,m·FM=0,∴y=0,-x+z=0. 取x=1,∴m=(1,0,1). 同理可得CMF的法向量n=(1,2,1), ∴cosθ=m·n|m||n|=33, 故二面角E-MF-C的余弦值为-33. 6.(1)证明∵∠BAD=90°,∴BA⊥AD, ∵平面ABCD⊥平面PAD,交线为AD, ∴BA⊥平面PAD,∴BA⊥PD. 在△PAD中,APsin∠ADP=ADsin∠APD, ∴sin∠APD=1,∠APD=90°, ∴AP⊥PD. ∵BA∩AP=A,∴PD⊥平面PAB. ∵PB⊂平面PAB,∴PD⊥PB. (2)解如图,以P为坐标原点,过点P垂直于平面PAD的射线为z轴,射线PD为x轴,射线PA为y轴,建立空间直角坐标系. ∵AD=2,∴AB=BC+AP=1,PD=3, ∴P(0,0,0),A(0,1,0),B(0,1,1),C32,12,1,E32,0,0),设PM=λPC,则PM=λ32,12,1. ∴M32λ,12λ,λ, ∴BM=32λ,12λ-1,λ-1. 又CE=0,-12,-1,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为105,∴|cos<BM,CE>|=|5λ-6|25·2λ2-3λ+2=105, 整理,得9λ2-36λ+20=0,解得λ=23或λ=103(舍),∴M33,13,23. 设平面MAB的法向量m=(x,y,z), 则m·BM=33x-23y-13z=0,n·BA=-z=0. 取x=2,得m=(2,3,0). 由(1)知PD⊥平面PAB,∴平面PAD的一个法向量为n=(1,0,0), ∴cos<m,n>=|m·n||m||n|=277. ∴二面角M-AB-P的余弦值为277. 7.(1)证明由∠BAD=∠BCD=90°,AD=CD,易知△ABD≌△CBD, 所以AB=CB,易证AC⊥BD. 又因为BB1⊥平面ABCD, 所以AC⊥BB1,所以AC⊥平面BB1D, 因为B1D⊂平面BB1D,所以AC⊥B1D. (2)解以AC,BD的交点O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示. 由(1)中的结论及BB1=2AB=2,知B12,0,0,B112,0,2,C10,32,2,D-32,0,0, 所以BC1=-12,32,2,B1C1=-12,32,0,B1D=(-2,0,-2). 设平面B1C1D的法向量