2023学年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第6讲对数与对数函数练习理北师大版.doc

第6讲 对数与对数函数 [基础题组练] 1．函数y＝的定义域是(　　) A．[1，2]　　　　　　　 B．[1，2) C. D． 解析：选C.由 即解得x≥. 2．(2023年·吕梁模拟)已知a＝log35，b＝1.51.5，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c<a<b B．c<b<a C．a<c<b D．a<b<c 解析：选A.1<a＝log35＝log325<log327＝1.5，b＝1.51.5>1.5，c＝ln 2<1，所以c<a<b，故选A. 3．如果logx<logy<0，那么(　　) A．y<x<1　　　　　　 B．x<y<1 C．1<x<y D．1<y<x 解析：选D.由logx<logy<0，得logx<logy<log1，所以x>y>1. 4．函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>0，且a≠1)的大致图象是(　　) 解析：选C.函数f(x)＝|loga(x＋1)|的定义域为{x|x>－1}，且对任意的x，均有f(x)≥0，结合对数函数的图象可知选C. 5．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是　(　　) A．0<a<1 B．0<a<2，a≠1 C．1<a<2 D．a≥2 解析：选C.当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ<0，即a2－4<0，所以2>a>1. 当0<a<1时，y有最小值， 则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C. 6．已知函数f(x)＝x3＋alog3x，若f(2)＝6，则f＝________． 解析：由f(2)＝8＋alog32＝6，解得a＝－，所以f＝＋alog3＝－alog32＝＋×log32＝. 答案： 7．已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是________． 解析：由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A，则＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98. 又A>0，故A＝＝7. 答案：7 8．已知函数f(x)＝|log3 x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________． 解析：因为f(x)＝|log3x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，所以－log3m＝log3n，所以mn＝1.因为f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f(x)在[m2，1)上是减函数，在(1，n]上是增函数，所以－log3m2＝2或log3n＝2.若－log3m2＝2，得m＝，则n＝3，此时log3n＝1，满足题意．那么＝3÷＝9.同理．若log3n＝2，得n＝9，则m＝，此时－log3m2＝4>2，不满足题意．综上可得＝9. 答案：9 9．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间上的最大值． 解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，且a≠1)，所以a＝2. 由得－1<x<3， 所以函数f(x)的定义域为(－1，3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]， 所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1，3)时，f(x)是减函数， 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. 10．已知函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)． (1)求a的值； (2)若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求g(x)的解析式及定义域； (3)在(2)的条件下，求g(x)的减区间． 解：(1)函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)，　 可得loga4＝2，解得a＝2. (2)g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝log2(1－x2)， 由1－x＞0且1＋x＞0，解得－1＜x＜1， 可得g(x)的定义域为(－1，1)． (3)g(x)＝log2(1－x2)， 由t＝1－x2在(－1，0)上是增加的，(0，1)上是减少的， 且y＝log2t在(0，＋∞)上是增加的， 可得函数g(x)的减区间为(0，1)． [综合题组练] 1．若log2x＝log3y＝log5z＜－1，则(　　) A．2x＜3y＜5z B．5z＜3y＜2x C．3y＜2x＜5z D．5z＜2x＜3y 解析：选B.设log2x＝log3y＝log5z＝t，则t＜－1, x＝2t, y＝3t, z＝5t, 因此2x＝2t＋1，3y＝3t＋1，5z＝5t＋1. 又t＜－1，所以t＋1＜0，由幂函数y＝xt＋1的单调性可知5z＜3y＜2x. 2．(2023年·黄石模拟)已知x1＝log2，x2＝2－，x3满足＝log3x3，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2 C．x2<x1<x3 D．x3<x1<x2 解析：选A.由题意可知x3是函数y1＝与y2＝log3x的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y1＝与y2＝log3 x的图象，如图所示，由图象可知x3>1，而x1＝log2<0，0<x2＝2－<1，所以x3>x2>x1.故选A. 3．已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是减少的，则a的取值范围为________． 解析：令g(x)＝x2－ax＋3a， 因为f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞) 是减少的， 所以函数g(x)在区间[2，＋∞)内是增加的，且恒大于0， 所以a≤2且g(2)＞0， 所以a≤4且4＋a＞0，所以－4＜a≤4. 答案：(－4，4] 4．设函数f(x)＝|logax|(0<a<1)的定义域为[m，n](m<n)，值域为[0，1]，若n－m的最小值为，则实数a的值为________． 解析： 作出y＝|logax|(0＜a＜1)的大致图象如图所示，令|logax|＝1. 得x＝a或x＝，又1－a－＝1－a－＝＜0，故1－a＜－1，所以n－m的最小值为1－a＝，a＝. 答案： 5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx. (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x2－1)>－2. 解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)． 因为函数f(x)是偶函数， 所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝ (2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数， 所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4)． 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x2－1|<4，解得－<x<， 即不等式的解集为(－，)． 5