2023学年高考数学一轮复习课时作业44空间向量及其运算理.doc

课时作业44　空间向量及其运算 [基础达标] 一、选择题 1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝(　　) A．(0,3，－6) B．(0,6，－20) C．(0,6，－6) D．(6,6，－6) 解析：由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)． 答案：B 2．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则(　　) A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 解析：由6＝＋2＋3， 得－＝2(－)＋3(－)，即＝2＋3，故，，共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面，故选B. 答案：B 3．已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则＝(　　) A.a－b＋c B．－a＋b＋c C.a＋b－c D.a＋b－c 解析：显然＝－＝(＋)－. 答案：B 4．已知四边形ABCD满足：·>0，·>0，·>0，·>0，则该四边形为(　　) A．平行四边形 B．梯形 C．长方形 D．空间四边形 解析：由·>0，·>0，·>0，·>0，知该四边形一定不是平面图形． 答案：D 5．[2023年·日照调研]已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝，则C点的坐标为(　　) A．(，－，) B．(，－3,2) C．(，－1，) D．(，－，) 解析：由题意知2＝，设C(x，y，z)，则2(x－4，y－1，z－3)＝(2－x，－5－y,1－z)， ∴∴即C(，－1，) 答案：C 二、填空题 6．已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________. 解析：如图所示， ＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝(＋－2)＝(＋－)＝(b＋c－a)． 答案：(b＋c－a) 7．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值为________． 解析：因为(a＋λb)⊥a， 所以(a＋λb)·a＝a2＋λb·a＝()2＋λ×(0＋1＋0)＝0，解得λ＝－2. 答案：－2 8．已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________． 解析：cos〈a，b〉＝＝－. 答案：－ 三、解答题 9．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)． (1)求以，为边的平行四边形的面积； (2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标． 解析：(1)由题意可得：＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)， 所以cos〈，〉＝＝＝＝， 所以sin〈，〉＝， 所以以，为边的平行四边形的面积： S＝2×||||sin〈，〉＝14×＝7. (2)设a＝(x，y，z)， 由题意得解得或 所以a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)． 10．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)·； (2)·； (3)EG的长． 解析：设＝a，＝b，＝c. 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ＝＝c－a，＝－a，＝b－c， (1)·＝·(－a) ＝a2－a·c＝. (2)·＝(c－a)·(b－c) ＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－. (3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ＝－a＋b＋c， ||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝. [能力挑战] 11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD. 证明：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴， CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∵∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°， ∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4， ∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M， ∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝. (1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量， 由即 令y＝2，得n＝(－，2,1)． ∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0， ∴n⊥.又CM⊄平面PAD， ∴CM∥平面PAD. (2)解法一　由(1)知＝(0,4,0)，＝(2，0，－2)， 设平面PAB的一个法向量为m＝(x0，y0，z0)， 由即 令x0＝1，得m＝(1,0，)， 又∵平面PAD的一个法向量n＝(－，2,1)， ∴m·n＝1×(－)＋0×2＋×1＝0， ∴平面PAB⊥平面PAD. 解法二　取AP的中点E，连接BE， 则E(，2,1)，＝(－，2,1)． ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. 又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0， ∴⊥.∴BE⊥DA. 又PA∩DA＝A， ∴BE⊥平面PAD. 又∵BE⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD. 6