2023学年高考数学一轮复习第五章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标表示高效演练分层突破文新人教A版.doc

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示 [基础题组练] 1．已知e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，a＝(－1，2)．若a＝λ1e1＋λ2e2，则实数对(λ1，λ2)为(　　) A．(1，1) B．(－1，1) C．(－1，－1) D．(1，－1) 解析：选B.因为e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，所以a＝λ1e1＋λ2e2＝λ1(2，1)＋λ2(1，3)＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)．又因为a＝(－1，2)，所以解得故选B. 2．(2023年·河南新乡三模)设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　) A. B．－ C．－3 D．3 解析：选B.法一：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)． 故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－. 故选B. 法二：因为向量e1，e2是平面内的一组基底， 故由a与b共线可得，＝，解得λ＝－. 故选B. 3．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，＝(2，4)，＝(1，3)，若点E满足＝3，则点E的坐标为(　　) A. B. C. D． 解析：选A.易知＝－＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由＝3知 所以所以E. 4．(2023年·河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　) A. B. C．3 D．2 解析：选A.如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)， 因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)． ＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m， 所以＝. 5．设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝ ． 解析：因为a＝(1，2)，b＝(2，3)，所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)． 因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线， 所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2. 答案：2 6．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为 ． 解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－. 答案：－ 7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝ ． 解析：选择，作为平面向量的一组基底， 则＝＋，＝＋，＝＋， 又＝λ＋μ＝＋，于是得 解得所以λ＋μ＝. 答案： 8．已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2. (1)求点M在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线． 解：(1)＝t1＋t2＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)． 点M在第二或第三象限⇔ 解得t2＜0且t1＋2t2≠0. 故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0. (2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2，4t2＋2)． 因为＝－＝(4，4)， ＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2， 所以A，B，M三点共线． [综合题组练] 1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为(　　) A．(2，0) B．(0，－2) C．(－2，0) D．(0，2) 解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)， 即a＝－2p＋2q＝(2，4)， 令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)， 所以即 所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)． 2.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　) A．1 B. C. D．2 解析：选B.因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2， 所以x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1. 又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2， 故x＋y的最大值为. 3．设＝(－2，4)，＝(－a，2)，＝(b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为 ． 解析：由已知得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)， 因为A，B，C三点共线， 所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)， 即整理得2a＋b＝2， 所以＋＝(2a＋b)＝≥＝＋(当且仅当a＝2－，b＝2－2时等号成立)． 答案：＋ 4．(2023年·黑龙江大庆二模)已知W为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°，设＝λ1＋λ2，则2λ1＋λ2＝ ． 解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示． 根据已知条件可知A(0，0)，B(4，0)，C(－1，)． 根据外心的性质可知点W在直线x＝2上(如图所示)． 易知线段AC中点的坐标为，直线AC的斜率为－，故线段AC的中垂线l的斜率为(如图所示)，方程为y－＝. 令x＝2，解得y＝，故W. 由＝λ1＋λ2得＝λ1(4，0)＋λ2(－1，)， 即解得 所以2λ1＋λ2＝＋＝3. 答案：3 5