023学年新教材高中物理科学思维系列__竖直平面内的圆周运动模型（人教版）必修第二册.doc

科学思维系列——竖直平面内的圆周运动模型 物体在竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下只讨论最高点和最低点的情况． 模型1　轻绳模型 如图所示， 细绳系的小球或在光滑轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，即mg＝，则v＝.在最高点时： ①v＝时，拉力或压力为零． ②v>时，物体受向下的拉力或压力． ③v<时，物体不能达到最高点(如图)． 即绳类的临界速度为v临＝. 【典例1】　 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm，g取10 m/s2.求： (1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字) (2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小． 【解析】　(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．此时有：mg＝m 则所求速率即为桶的最小速率：v0＝＝ m/s≈2.24 m/s. (2)在最高点水桶的速率v＝3 m/s>2.24 m/s，水桶能过最高点， 此时桶底对水有一向下的压力，设为FN， 则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝m 代入数据可得：FN＝4 N 由牛顿第三定律可得水对桶底的压力：FN′＝4 N. 【答案】　(1)2.24 m/s　(2)4 N 变式训练1　如图所示，在竖直平面内有一半径为R的半圆形轨道，最高点为P点，现让一小滑块(可视为质点)从水平地面上向半圆形轨道运动，下列关于小滑块运动情况的分析，正确的是(　　) A．若vP＝0，小滑块恰能通过P点，且离开P点后做自由落体运动 B．若vP＝0，小滑块能通过P点，且离开P点后做平抛运动 C．若vP＝，小滑块恰能到达P点，且离开P点后做自由落体运动 D．若vP＝，小滑块恰能到达P点，且离开P点后做平抛运动 解析：要使物体能通过最高点，则由mg＝m可得：vP＝，即若速度小于，由于重力大于物体需要的向心力，物体将做“向心”运动，物体将离开轨道，无法达到最高点，若大于等于，则可以通过最高点做平抛运动，选项D正确． 答案：D 变式训练2　如图所示，游乐场翻滚过山车上的乘客常常会在高空倒悬时吓得魂飞魄散．设想如下数据，轨道最高处离地面32 m，最低处几乎贴地，圆环直径15 m，过山车经过最高点时的速度约18 m/s.在这样的情况下能否保证乘客的安全呢？(g取10 m/s2) 解析：要保证乘客安全，过山车能通过最高点时的最小速度为临界速度． 此时圆形轨道对过山车的作用力为零，重力提供向心力，则有 mg＝，可得v＝＝5 m/s 由5 m/s<18 m/s可知，这种情况下过山车和人一定能安全地通过顶点，绝对安全，不必担心． 答案：绝对安全 模型2　轻杆模型 如图所示， 在细轻杆上固定的小球或在管形光滑轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是：在最高点的速度大于或等于零．在最高点小球的受力情况为： ①v＝0时，小球受向上的支持力FN＝mg. ②0<v<时，小球受向上的支持力FN满足0<FN<mg. ③v＝时，小球除受重力之外不受其他力． ④v>时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大． 即杆类的临界速度为v临＝0. 【典例2】　 如图所示，长为L＝0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量为m＝2 kg的小球，g取10 m/s2. (1)如果在最低点时小球的速度为3 m/s，杆对小球的拉力为多大？ (2)如果在最高点杆对小球的支持力为4 N，杆旋转的角速度为多大？ 【解析】　(1)小球在最低点受力如图甲所示， 合力提供向心力，则F1－mg＝m， 解得F1＝56 N. (2)小球在最高点受力如图乙所示，则mg－F2＝mω2L， 解得ω＝4 rad/s. 【答案】　(1)56 N　(2)4 rad/s 变式训练3　(多选)如图所示，A是用轻绳连接的小球，B是用轻杆连接的小球，两球都在竖直面内做圆周运动，且绳、杆长度L相等．忽略空气阻力，下列说法中正确的是(　　) A．A球通过圆周最高点的最小速度是 B．B球通过圆周最高点的最小速度为零 C．B球到最低点时处于超重状态 D．A球在运动过程中所受的合外力的方向总是指向圆心 解析：A球在最高点的临界情况是绳子拉力为零，根据mg＝，可知在最高点的最小速度为，由于杆可以提供拉力，也可以提供支持力，所以B球在最高点的最小速度为零，故A、B正确；在最低点时，B球的加速度方向向上，处于超重状态，故C正确；A球做变速圆周运动，只在最高点和最低点的合力方向指向圆心，故D错误． 答案：ABC 变式训练4　(多选) 如图所示，有一个半径为R的光滑圆管道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在最高点时的速度v，下列叙述中正确的是(　　) A．v的极小值为 B．v由零逐渐增大，管道对球的弹力逐渐增大 C．当v由逐渐增大时，管道对小球的弹力也逐渐增大 D．当v由逐渐减小时，管道对小球的弹力逐渐增大 解析：小球在最高点，管道对小球的作用力可以向上，可以向下，所以v的最小值为零，故A错误．当v＝时，根据牛顿第二定律得mg－FN＝，可得管道对球的作用力FN＝0；当v<时，管道对小球的作用力方向向上，根据牛顿第二定律得mg－FN＝m，当v由逐渐减小时，管道对小球的弹力逐渐增大，当v>时，管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律得mg＋FN＝m，当v由逐渐增大时，管道对小球的弹力也逐渐增大，故C、D正确，B错误． 答案：CD 方法技巧 竖直平面内圆周运动的分析方法 　竖直面内圆周运动过顶点的问题关键在于能不能过顶点，能过顶点的条件下物体的受力情况究竟是怎样的．下面是竖直面内圆周运动的求解思路： (1)确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体． (2)确定临界点：v临＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是表现为支持力还是拉力的临界点． (3)确定研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况． (4)分析求解：对物体在最高点或最低点进行受力分析，列方程F合＝F向＝m＝mω2r求解． - 5 -