2023学年高考数学一轮复习第九章平面解析几何第8讲圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线中的证明范围最值问题高效演练分层突破文新人教A版.doc

第1课时　圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题 [基础题组练] 1．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若<k<，则椭圆离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D． 解析：选B.由题意知B， 所以k＝＝＝1－e. 又<k<， 所以<1－e<， 解得<e<. 2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是(　　) A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C.x±y＝0 D．x±y＝0 解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1①，－＝1②，由①－②得＝，结合题意化简得＝1，即＝，所以双曲线C的渐近线方程为x±2y＝0. 3．抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线与x轴的交点为M，过点M作C的两条切线，切点分别为P，Q，则∠PMQ＝ ．　 解析：由题意得M，设过点M的切线方程为x＝my－，代入y2＝2px得y2－2pmy＋p2＝0，所以Δ＝4p2m2－4p2＝0，所以m＝±1，则切线斜率k＝±1，所以MQ⊥MP，因此∠PMQ＝. 答案： 4．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则|PA|－|PF|的最小值为 ．　 解析：如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝4， 所以|PF|＝4－|PF′|，所以|PA|－|PF|＝|PA|＋|PF′|－4.当且仅当P，A，F′三点共线时，|PA|＋|PF′|取最小值|AF′| ＝＝5，所以|PA|－|PF|的最小值为1. 答案：1 5．(2023年·长春市质量监测(二))已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，|PF2|＝，椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积． 解：(1)由题意知，离心率e＝＝，|PF2|＝＝，得a＝2，b＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)由条件可知F1(－，0)，直线l：y＝x＋，联立直线l和椭圆C的方程，得消去y得5x2＋8x＋8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，所以|y1－y2|＝|x1－x2|＝＝，所以S△AOB＝·|y1－y2|·|OF1|＝. 6．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为. (1)求E的离心率e； (2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB. 解：(1)由题设条件知，点M的坐标为，　 又kOM＝，从而＝. 进而a＝b，c＝＝2b， 故e＝＝. (2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝. 又AB＝(－a，b)， 从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．　 由(1)的计算结果可知a2＝5b2， 所以·＝0，故MN⊥AB. [综合题组练] 1．(2023年·河南阶段性测试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点到右焦点F(c，0)的最大距离是＋1，且1，a，4c成等比数列． (1)求椭圆的方程； (2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m，0)，求实数m的取值范围． 解：(1)由已知可得 解得 所以椭圆的方程为＋y2＝1. (2)由题意得F(1，0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)． 与椭圆方程联立得消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝. 可得线段AB的中点为N. 当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0. 当k≠0时，直线MN的方程为 y＋＝－， 化简得ky＋x－＝0. 令y＝0，得m＝. 所以m＝＝∈. 综上所述，m的取值范围为. 2．(2023年·广州市综合检测(一))已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y＝x与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C的另一个焦点是F1，且·＝. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l过点(－1，0)，且与椭圆C交于P，Q两点，求△F2PQ的内切圆面积的最大值． 解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，因为点M在直线y＝x上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2(c，0)， 所以点M. 因为·＝·＝， 所以c＝1. 所以 解得 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)由(1)知，F1(－1，0)，过点F1(－1，0)的直线与椭圆C交于P，Q两点，则△F2PQ的周长为4a＝8，又S△F2PQ＝·4a·r(r为△F2PQ的内切圆半径)， 所以当△F2PQ的面积最大时，其内切圆面积最大． 设直线l的方程为x＝ky－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 消去x得(4＋3k2)y2－6ky－9＝0， 所以 所以S△F2PQ＝·|F1F2|·|y1－y2|＝. 令 ＝t，则t≥1， 所以S△F2PQ＝， 令f(t)＝3t＋， 则f′(t)＝3－， 当t∈[1，＋∞)时，f′(t)>0， f(t)＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增， 所以S△F2PQ＝≤3，当t＝1时取等号， 即当k＝0时，△F2PQ的面积取得最大值3， 结合S△F2PQ＝·4a·r，得r的最大值为， 所以△F2PQ的内切圆面积的最大值为π. 6