2023学年高考数学一轮复习第十二章复数算法推理与证明第4讲直接证明与间接证明高效演练分层突破文新人教A版.doc

第4讲　直接证明与间接证明 [基础题组练] 1．(2023年·衡阳示范高中联考(二))用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”的正确假设为(　　) A．自然数a，b，c中至少有两个偶数 B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．自然数a，b，c都是奇数 D．自然数a，b，c都是偶数 解析：选B.“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然数a，b，c均为奇数或自然数a，b，c中至少有两个偶数”． 2．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是(　　) A．x2>2 B．x2>4 C．x2>0 D．x2>1 解析：选C.因为x>0，所以要证<1＋，只需证()2<，即证0<，即证x2>0，显然x2>0成立，故原不等式成立． 3．在△ABC中，sin Asin C＜cos Acos C，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解析：选C.由sin Asin C＜cos Acos C得 cos Acos C－sin Asin C＞0， 即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是锐角， 从而B＞，故△ABC必是钝角三角形． 4．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 解析：选A.因为≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，所以f≤f()≤f，即A≤B≤C. 5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数， 由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0. 6．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为 ． 解析：“x≠a且x≠b”的否定是“x＝a或x＝b”，因此应假设为x＝a或x＝b. 答案：x＝a或x＝b 7．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为 ． 解析：a＝＋2，b＝2＋，两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然<，所以a<b. 答案：a<b 8．(2023年·福州模拟)如果a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是 ． 解析：a＋b＞a＋b，即(－)2(＋)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b. 答案：a≥0，b≥0且a≠b 9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1. (1)求证：a，b，c成等差数列； (2)若C＝，求证：5a＝3b. 证明：(1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2 B，因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列． (2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，即5a＝3b. 10．已知四棱锥S­ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1. (1)求证：SA⊥平面ABCD； (2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2， 所以SA⊥AD. 同理SA⊥AB. 又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD， AD⊂平面ABCD， 所以SA⊥平面ABCD. (2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F， 使得BF∥平面SAD. 因为BC∥AD，BC⊄平面SAD. 所以BC∥平面SAD，而BC∩BF＝B， 所以平面FBC∥平面SAD. 这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾， 所以假设不成立． 所以不存在这样的点F， 使得BF∥平面SAD. [综合题组练] 1．已知a，b，c∈R，若·>1且＋≥－2，则下列结论成立的是(　　) A．a，b，c同号 B．b，c同号，a与它们异号 C．a，c同号，b与它们异号 D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定 解析：选A.由·>1知与同号， 若>0且>0，不等式＋≥－2显然成立， 若<0且<0，则－>0，－>0， ＋≥2 >2，即＋<－2， 这与＋≥－2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同号． 2．(应用型)(一题多解)若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一点c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是 ． 解析：法一(补集法)：f(x)在区间[－1，1]内至少存在一点c.使f(c)>0，该结论的否定是对于区间[－1，1]内的任意一点c，都有f(c)≤0， 令解得p≤－3或p≥， 故满足条件的p的取值范围为. 法二(直接法)：依题意有f(－1)＞0或f(1)＞0， 即2p2－p－1＜0或2p2＋3p－9＜0， 得－＜p＜1或－3＜p＜， 故满足条件的p的取值范围是. 答案： 3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0. (1)证明：是f(x)＝0的一个根； (2)试比较与c的大小． 解：(1)证明：因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点， 所以f(x)＝0有两个不等实根x1，x2， 因为f(c)＝0， 所以x1＝c是f(x)＝0的根， 又x1x2＝， 所以x2＝， 所以是f(x)＝0的一个根． (2)假设<c，又>0， 由0<x<c时，f(x)>0， 知f>0与f＝0矛盾， 所以≥c，又因为≠c，所以>c. 4．(综合型)若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a＜b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数． (1)设g(x)＝x2－x＋是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值； (2)是否存在常数a，b(a＞－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1， 所以函数在区间[1，b]上单调递增，由“四维光军”函数的定义可知 ，g(1)＝1，g(b)＝b， 即b2－b＋＝b， 解得b＝1或b＝3. 因为b＞1，所以b＝3. (2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a＞－2)上是“四维光军”函数， 因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有即 解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在． 6