2023学年新教材高中数学课后作业55函数y＝Asinωx＋φ的图象二新人教A版必修第一册.doc

课后作业(五十五) 复习巩固 一、选择题 1．最大值为，周期为，初相为的函数表达式可表示为(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin [解析]　A＝，＝⇒ω＝6，φ＝，C项正确． [答案]　C 2．将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)的一条对称轴方程可以为(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ [解析]　f(x)＝sin的图象向右平移个单位得g(x)＝sin＝sin(2x－π)＝－sin2x. 由2x＝kπ＋得g(x)的对称轴方程为 x＝＋(k∈Z) 取k＝1，得x＝，故选A. [答案]　A 3．下列函数中，图象的一部分如图所示的是(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝cos D．y＝cos [解析]　由图知T＝4×＝π， ∴ω＝＝2. 又x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求． [答案]　D 4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f等于(　　) A. B．0 C．2 D．－2 [解析]　解法一：由图可知，T＝－＝π，即T＝，∴ω＝＝3. ∴y＝2sin(3x＋φ)，将代入上式得，sin＝0， 又是图象上升的趋势的点， ∴＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－. ∴f＝2sin＝0. 解法二：由图可知，T＝－＝π， 即T＝. 又由正弦图象性质可知，若f(x0)＝0，则f＝0. ∴f＝f＝0. [答案]　B 5．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上单调递增”的一个函数是(　　) A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin D．y＝cos [解析]　由①知T＝π＝，ω＝2，排除A.由②③知x＝时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求． [答案]　C 二、填空题 6．函数y＝sin的图象在(－π，π)上有________条对称轴． [解析]　∵2x－＝＋kπ，k∈Z， ∴x＝＋，k∈Z， k＝－2时，x＝－；k＝－1时，x＝－； k＝0时，x＝；k＝1时，x＝. ∴在(－π，π)上有4条对称轴． [答案]　4 7．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________. [解析]　依题意知＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2. [答案]　2 8．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝________. [解析]　由图象可得最小正周期为. 所以f(0)＝f，注意到与关于对称， 故f＝－f＝. [答案]　 三、解答题 9．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示． (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)当x∈时，求f(x)的取值范围． [解]　(1)由函数图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1. 将点代入得sin＝1，而－<φ<， 所以φ＝，因此函数的解析式为f(x)＝sin. (2)由于－π≤x≤－，－≤x＋≤， 所以－1≤sin≤， 所以f(x)的取值范围是. 10．已知函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x＋1. (1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间； (2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心； (3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合． [解]　(1)f(x)＝sin2x＋＋1 ＝sin2x＋cos2x＋＝＋＝sin＋. 所以函数f(x)的振幅为，最小正周期T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，f(x)的单调增区间为(k∈Z)． (2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)， 所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)． 令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)， 所以对称中心为(k∈Z)． (3)当sin＝－1， 即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)， 所以x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为，此时x的取值集合是. 综合运用 11．函数y＝cos(x∈[0,2π))的图象和直线y＝的交点个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　由y＝cos＝sin＝，得＝2kπ＋或＝2kπ＋π－，即x＝4kπ＋或x＝4kπ＋，又因为x∈[0,2π)，所以x＝或.故选B. [答案]　B 12．下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 [解析]　由图象可知A＝1，T＝－＝π， ∴ω＝＝2.∵图象过点， ∴sin＝0，∴＋φ＝π＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z. ∴y＝sin＝sin. 故将函数y＝sinx先向左平移个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得原函数的图象． [答案]　A 13．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________. [解析]　由题意得周期T＝2＝2π，∴2π＝，即ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)， ∴f＝sin＝±1. ∵0<φ<π，∴<φ＋<， ∴φ＋＝，∴φ＝. [答案]　 14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数解析式为f(x)＝______________. [解析]　由函数图象上相邻最高点和最低点距离为2，得 ＝2. 解得T＝4，∴ω＝＝，∴f(x)＝sin. 又∵函数图象过点，∴f(2)＝sin＝－sinφ＝－. 又∵－≤φ≤，∴φ＝，∴f(x)＝sin. [答案]　sin 15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝时，f(x)取得最大值3；当x＝π时，f(x)取得最小值－3. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调递减区间； (3)若x∈时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围． [解]　(1)由题意，易知A＝3，T＝2＝π，∴ω＝＝2.由2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z. 又∵－π<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝3sin. (2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z. (3)由题意知，方程sin＝在区间上有两个实根． ∵x∈，∴2x＋∈， ∴sin∈， ∴∈，∴m∈[1＋3，7)． 8