2023学年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第5讲指数函数高效演练分层突破文新人教A版.doc

第5讲　指数函数 [基础题组练] 1．若函数f(x)＝(2a－5)·ax是指数函数，则f(x)在定义域内(　　) A．为增函数　　　　　　 B．为减函数 C．先增后减 D．先减后增 解析：选A.由指数函数的定义知2a－5＝1，解得a＝3，所以f(x)＝3x，所以f(x)在定义域内为增函数． 2．设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是(　　) A．M＝N B．M≤N C．M<N D．M>N 解析：选D.因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝<1，所以M>N，故选D. 3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为(　　) A．[9，81] B．[3，9] C．[1，9] D．[1，＋∞) 解析：选C.由f(x)过定点(2，1)可知b＝2，所以f(x)＝3x－2且在[2，4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9. 4.已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是(　　) 解析：选B.由函数y＝kx＋a的图象可得k<0，0<a<1.因为函数y＝kx＋a的图象与x轴交点的横坐标大于1，所以k>－1，所以－1<k<0.函数y＝ax＋k的图象可以看成把y＝ax的图象向右平移－k个单位长度得到的，且函数y＝ax＋k是减函数，故此函数与y轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，选B. 5．已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　) A．偶函数，在[0，＋∞)内单调递增 B．偶函数，在[0，＋∞)内单调递减 C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减 解析：选C.易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C. 6．不等式2－x2＋2x>的解集为 ． 解析：不等式2－x2＋2x >可化为>，等价于x2－2x<x＋4，即x2－3x－4<0，解得－1<x<4. 答案：{x|－1<x<4} 7．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是 ． 解析：由f(1)＝得a2＝. 又a>0，所以a＝，因此f(x)＝. 因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞) 8．设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是 ． 解析：由于g(x)＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0， 又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上单调递增，得a>1. 则g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，故g(a)>g(1)＝g(b－1)． 答案：g(a)>g(b－1) 9．已知函数f(x)＝. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最大值等于，求a的值． 解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝是单调递减的， 因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是(0，＋∞)． (2)由于f(x)的最大值是， 且＝， 所以函数g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，从而a＝2. 10．(2023年·福建养正中学模拟)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋2ax(－3≤x≤3)． (1)若g(x)在[－3，3]上是单调函数，求a的取值范围； (2)当a＝－1时，求函数y＝f(g(x))的值域． 解：(1)g(x)＝(x＋a)2－a2图象的对称轴为直线x＝－a，因为g(x)在[－3，3]上是单调函数，所以－a≥3或－a≤－3，即a≤－3或a≥3.故a的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)． (2)当a＝－1时，f(g(x))＝2 (－3≤x≤3)． 令u＝x2－2x，y＝2u. 因为x∈[－3，3]，所以u＝x2－2x＝(x－1)2－1∈[－1，15]． 而y＝2u是增函数，所以≤y≤215， 所以函数y＝f(g(x))的值域是. [综合题组练] 1．(2023年·辽宁大连第一次(3月)双基测试)函数y＝(x∈R)的值域为(　　) A．(0，＋∞) B．(0，1) C．(1，＋∞) D. 解析：选B.y＝＝＝1－， 因为2x>0，所以1＋2x>1， 所以0<<1，－1<－<0，0<1－<1，即0<y<1， 所以函数y的值域为(0，1)，故选B. 2．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[－1，2]上的最大值为8，最小值为m.若函数g(x)＝(3－10m)是单调递增函数，则a＝ ． 解析：根据题意，得3－10m>0，解得m<； 当a>1时，函数f(x)＝ax在区间[－1，2]上单调递增， 最大值为a2＝8，解得a＝2，最小值为m＝a－1＝＝>，不合题意，舍去； 当0<a<1时，函数f(x)＝ax在区间[－1，2]上单调递减，最大值为a－1＝8，解得a＝，最小值为m＝a2＝<，满足题意．综上，a＝. 答案： 3．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0. 解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0， 即＝0，解得b＝1， 所以f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2. (2)由(1)知f(x)＝＝－＋. 由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)． 又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)． 所以t2－2t>－2t2＋1即3t2－2t－1>0. 解得t>1或t<－，所以该不等式的解集为. 4