2023年数学期望在经济决策中的作用.doc

河北北方学院本科生毕业论文 数学期望在经济决策中的应用 摘 要 数学期望是研究随机变量总体取值平均水平的重要数字特征,经济生活中的许多问题都可以直接或间接地利用数学期望来解决,是人们做出经济决策的重要依据. 第一章主要介绍数学期望的定义,包括离散型随机变量、连续型随机变量和随机变量函数三种期望. 第二章对于数学期望在经济决策中的作用方式和方法进行介绍. 第三章介绍数学期望在单级决策中的应用,通过几个实例将数学期望的应用方法具体化. 第四章对于非简单单级决策,即需要多级决策的运用问题进行举例介绍. 关键词 数学期望;经济决策;期望值决策;利润最大. The Application of Mathematical expectation of the role in economic decision-making Abstract The mathematical expectation of a significant number is the average of the overall value of the random variable features, many of the problems of economic life can be direct or indirect use of the mathematical expectations, is an important basis for people to make economic decisions. The first chapter introduces mathematical definition of expectations, including discrete random variables, continuous random variables and random variable function. Chapter II described the ways and means of the mathematical expectation of the role in economic decision-making. The third chapter is devoted to the mathematical expectation of the single-stage decision-making, through several examples of application of the mathematical expectation of. Chapter IV is non-simple single-stage decision-making require the use of multi-level decision-making issues and provide examples. Key words Mathematical expectation; economic decision-making; expectations of decision-making; the most profitable. II 目 录 引 言 1 1 数学期望的定义 2 1.1 离散型随机变量的期望 2 1.2 连续型随机变量的数学期望 2 1.3 随机变量函数的数学期望 2 2 经济决策分析 3 2.1 经济决策的定义 3 2.2 决策问题的三要素 3 2.3 期望值决策法选择方案的根本步骤 3 2.4 经济决策的根本公理 3 3 数学期望在单级决策中的运用 5 3.1 最正确进货量问题 5 3.2 利润最大问题 6 3.3 委托——代理问题 7 3.4 超市抽奖问题 8 3.5 资金投资问题 9 3.6 决定生产批量问题 10 3.7 减少工作量问题 11 4 数学期望在多级决策中的运用 13 小 结 16 参考文献 17 致 谢 18 III 引 言 概率论是一门研究事情发生的可能性的学问,但是最初概率论的起源与赌博问题有关.16世纪,意大利的学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题.17世纪中叶,法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏,游戏规那么是玩家连续掷 4次骰子,如果其中没有 6点出现,玩家赢,如果出现一次 6点,那么庄家〔相当于现在的赌场〕赢.按照这一游戏规那么,从长期来看,庄家扮演赢家的角色,而玩家大局部时间是输家,因为庄家总是要靠此为生的,因此当时人们也就接受了这种现象. 随着18、19世纪科学的开展,人们注意到在某些生物、物理和社会现象与时机游戏之间有某种相似性,从而由时机游戏起源的概率论被应用到这些领域中;同时这也大大推动了概率论本身的开展.使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j.伯努利,他建立了概率论中第一个极限定理,即伯努利大数定律,说明了事件的频率稳定于它的概率.随后棣莫弗和p.s.拉普拉斯又导出了第二个根本极限定理〔中心极限定理〕的原始形式.拉普拉斯在系统总结前人工作的根底上写出了分析的概率理论,明确给出了概率的古典定义,并在概率论中引入了更有力的分析工具,将概率论推向一个新的开展阶段.19世纪末,俄国数学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式,科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.20世纪初受物理学的刺激,人们开始研究随机过程.这方面a·n·柯尔莫哥洛夫、n.维纳、a·a·马尔可夫、a·r·辛钦、p·莱维及w·费勒等人作了杰出的奉献. 虽然概率论最早产生于17世纪,然而其公理体系只在20世纪的20至30年代才建立起来并得到迅速开展,在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性,例如：物理、化学、生物、医学、心理学、社会学、政治学、教育学,经济学以及几乎所有的工程学等领域. 概率论作为从数量上研究随机现象统计规律性的学科,而随机变量的分布函数能够全面地反映随机变量的统计规律性．随着经济社会的不断开展,竞争越来越剧烈,企业所面临的风险是越来越大,为了在这残酷的竞争中能立于不败之地,必须的降低风险,降低本钱,减少损失,获取较高收益.从而决策者们必须采用科学的方法来做出正确的经济决策.然而现实的经济社会是多面性和复杂性的有太多的不确定性因素,比方外界因素,管理者们的主观因素等.而数学期望正好能综合这些因素从中筛选出最优的方案. 1 数学期望的定义 1.1 离散型随机变量的期望 设离散型随机变量的分布律为,假设级数绝对收敛,那么称的值为的数学期望〔或均值〕,记作,即. 1.2 连续型随机变量的数学期望 设为连续型随机变量,其概率密度为,假设绝对收敛,称为的数学期望〔或均值〕,记作,即 1.3 随机变量函数的数学期望 设是随机变量,是函数,是连续实函数. 当离散型随机变量的分布律为,当级数绝对收敛,随机变量的数学期望为 当为连续型随机变量,其概率密度为,假设绝对收敛,随机变量的数学期望为 2 经济决策分析 2.1 经济决策的定义 经济决策是指经济管理部门或企业为了到达某种特定的目标,在经济调查、经济预测和经济开展、管理活动等规律性认识的根底上,运用科学的方法,在几种可供选择的行动方案中,选择一个令人满意的方案并予以实施. 2.2 决策问题的三要素 〔1〕 状态集：把决策的对象称为一个系统,系统所处的不同情况称为状态.将其数量化后得到状态变量.所有状态构成的集合称为状态集,记为:,其中是第种状态的状态变量;表示各种状态出现的概率,其中表示第种状态发生的概率. 〔2〕 决策集：为到达某种目的而选择的行为方案称为方案;将其数量化后称为决策变量,记为决策变量的集合称为决策集,记为. 〔3〕 效益函数：定义在上的一个二元函数,他表示状态出现时,决策者采取方案得到的收益或损益值,即称为效益.对所有的状态和所有可能的方案所对应效益的全体构成的集合称为效益函数,记为. 对于实际问题,如果断策的三要素确定了,那么相应的决策模型也就确定了,在这里记为. 2.3 期望值决策法选择方案的根本步骤 〔1〕在确定决策目标的根底上,设计各种可行的备选方案; 〔2〕分析判断各种可行的备选方案实施后可能遇到的决策者无法控制的自然状态,并预测各种自然状态可能出现的概率; 〔3〕估计、预测各种方案在各种不同的自然状态下可能取得的收益值〔或损失值〕; 〔4〕根据以上数据列出收益或损失矩阵表; 〔5〕以收益或损失矩阵表为依据,分别计算各方案的期望收益值或期望损失值,并根据收益期望值或期望损失值选择最优方案. 2.4 经济决策的根本公理 〔1〕方案之间的优劣是可以比拟的,且比拟结果不能相互矛盾; 〔2〕各被选方案应有独立存在的价值.假设其中有一方案在各方面均显著劣于另一方案,那么这一方案就可以被第二方案所替代,即其没有存在的价值,应从被选方案中删除; 〔3〕分析方案时只有不同的结果才有比拟.假设多个方案某一方面均是相同的,那么在进行比拟时这一方面那么可以不用比拟; 〔4〕主观概率与方案结果之间不存在联系.决策者估计某种状态出现的主观概率不受方案结果的影响,两者是相互独立的,对自然状态出现的可能性大小的主观概率估计只与决策者主观上对自然状态开展趋势估计的乐观程度有关; 〔5〕效用的等同性及替换性. 然而由于心理、环境等多种因素的影响使人们常常处于不理智的状态,因而很多时候不能保证完全遵循以上公理. 3 数学期望在单级决策中的运用 经济决策是指企业以及个人在确定行动政策或方案以及选择实施这些政策或方案的有效方法时所进行的一系列活动.经济决策类型按其影响范围分为宏观决策与微观决策.宏观经济决策是指对国民经济和社会的开展目标、战略重点、战略步骤、战略措施等重大经济问题所做的决定或选择.宏观经济决策是国民经济最高层次的决策.微观决策是指对带有局部性的某一具体问题的决策.微观决策包括企业根据市场确定产量,进行人、财、物的合理分配; 消费者根据自己的有限收入决定其对各种商品的需求量, 我们在这里研究数学期望在微观决策中的作用. 事物的进展情况和信息往往受随机因素的影响,使得决策带有风险性.因此,在实际问题中为了最大限度地降低风险,人们常把数学期望作为决策参考的重要依据.离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平,正是因为它具备这样的特点,使得数学期望能够从最大程度上刻画、反映出各种随机因素的影响, 从而成为风险决策的重要数字特征.下面举几个例子来说明. 3.1 最正确进货量问题 商场要进某种商品, 作为商场而言, 必定要考虑准备多少货源, 既能满足市场需求, 又不会产生积压, 使资金使用最正确、收益最优. 例1 设某一超市经销的某种商品, 每周的需求量是在10至30范围内等可能取值, 该商品的进货量也在10至30范围内等可能取值〔每周只在周前进一次货〕,超市每销售一单位的商品可获利500元,假设供大于求,那么削价处理,每处理一单位商品亏损100元;假设供不应求,可从外单位调拨,此时一单位商品可获利300元,试测算进货量多少时,超市可获得最正确利润并求出最大利润的期望值. 解 由于该商品需求量(销售量)是一个随机变量,它在区间上均匀分布,而销售利润值也是随机变量,它是的函数,称为随机变量的函数.因此,本问题的解算过程是,先确认与的函数关系,再求出y的期望,最后利用极值方法求出极大值点及最大值. 先假设每周的进货量为,那么 利润的数学期望为 3.2 利润最大问题 下面这个例子是重庆两路的百乐自助烤吧老板经过多年的经验得出的相关数据： 例2 百乐自助烧烤吧每天腌制牛肉的多少问题,由于牛肉不易于保存,今晚腌制