2023学年高考数学一轮复习课时作业37直接证明与间接证明理.doc

课时作业 37　直接证明与间接证明 [基础达标] 一、选择题 1．要证明＋<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(　　) A．综合法 B．分析法 C．比较法 D．归纳法 解析：要证明＋<4，只需证明(＋)2<16，即8＋2<16，即证明<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B. 答案：B 2．用反证法证明命题：“ a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　) A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除 解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”． 答案：B 3．设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　) A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 解析：假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，与a＋b＋c<6矛盾， ∴a，b，c都小于2错误． ∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.故选C项． 答案：C 4．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　) A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．由a的取值确定 解析：假设P>Q，要证P>Q，只需证P2>Q2，只需证： 2a＋13＋2>2a＋13＋2，只需证a2＋13a＋42>a2＋13a＋40，只需证42>40，因为42>40成立，所以P>Q成立． 答案：A 5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0. 答案：A 二、填空题 6．如果a＋b>a＋b，则a，b应满足的条件是________． 解析：a＋b>a＋b，即(－)2(＋)>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b. 答案：a≥0，b≥0且a≠b 7．若向量a＝(x＋1,2)，b＝(4，－2)，若a∥b，则实数x＝________. 解析：因为a∥b， 所以(x＋1)×(－2)＝2×4， 解得x＝－5. 答案：－5 8．[2023年·太原模拟]用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________________． 解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”． 答案：x≠－1且x≠1 三、解答题 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.求证：a，b，c成等差数列． 证明：由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B， 因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B， 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列． 10．已知a，b是正实数，求证＋≥＋. 证明：证法一　(作差法)因为a，b是正实数，所以＋－－＝＋ ＝ ＝≥0， 所以＋≥＋. 证法二　(分析法)已知a，b是正实数， 要证＋≥＋， 只需证a＋b≥(＋)， 即证(a＋b－)(＋)≥(＋)， 即证a＋b－≥， 就是要证a＋b≥2. 显然a＋b≥2恒成立，所以＋≥＋. 证法三　(综合法)因为a，b是正实数， 所以＋＋＋≥2＋2＝2＋2， 当且仅当a＝b时取等号，所以＋≥＋. 证法四　(综合法)因为a，b是正实数， 所以(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2， 当且仅当a＝b时取等号， 所以＋≥＋. [能力挑战] 11．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0. 证明：假设a，b，c都不大于0， 即a≤0，b≤0，c≤0， 所以a＋b＋c≤0. 而a＋b＋c ＝＋＋ ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. 所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0. 4