2023学年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理第2课时正余弦定理的综合问题高效演练分层突破文新人教A版.doc

第2课时　正、余弦定理的综合问题 [基础题组练] 1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos A＝，则△ABC的面积等于(　　) A．3　　　　　　　　　　 B. C．9 D． 解析：选B.因为cos A＝，则sin A＝，所以S△ABC＝×bcsin A＝，故选B. 2．在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝(　　) A．2 B. C．2 D．2 解析：选D.由S＝absin C＝2a×＝2，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12，故c＝2. 3．(2023年·河南三市联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sin A∶sin B＝1∶，c＝2cos C＝，则△ABC的周长为(　　) A．3＋3 B．2 C．3＋2 D．3＋ 解析：选C.因为sin A∶sin B＝1∶，所以b＝a， 由余弦定理得cos C＝＝＝， 又c＝，所以a＝，b＝3，所以△ABC的周长为3＋2，故选C. 4．(2023年·湖南师大附中4月模拟)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝，△ABC的面积S＝cos A，则a＝(　　) A．1 B. C. D． 解析：选A.因为b＝2，c＝，S＝cos A＝bcsin A＝sin A，所以sin A＝cos A. 所以sin2A＋cos2A＝cos2A＋cos2A＝cos2A＝1.易得cos A＝. 所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋5－2×2××＝9－8＝1，所以a＝1.故选A. 5．(2023年·开封市定位考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为4，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为(　　) A．10 B．12 C．8＋ D．8＋2 解析：选B.因为△ABC的面积为4，所以acsin B＝4.因为2bcos A＋a＝2c，所以由正弦定理得2sin Bcos A＋sin A＝2sin C，又A＋B＋C＝π，所以2sin Bcos A＋sin A＝2sin Acos B＋2cos Asin B，所以sin A＝2cos B·sin A，因为sin A≠0，所以cos B＝，因为0＜B＜π，所以B＝，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为正三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B. 6．在△ABC中，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为 ． 解析：因为b2sin C＝4sin B， 所以b2c＝4b，所以bc＝4， S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2. 答案：2 7．(2023年·江西赣州五校协作体期中改编)在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝ ，△ABC的面积等于 ． 解析：△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝1.又B为三角形的内角，所以B＝，所以c＝＝＝2， 所以S△ABC＝×2×2＝2. 答案：　2 8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为 ． 解析：由＝⇒＝⇒a＝c，① 由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5，② 联立①，②得a＝5，且c＝2. 由sin B＝且B为锐角知cos B＝， 由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝. 答案： 9．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a. (1)求sin C的值； (2)若a＝7，求△ABC的面积． 解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a， 所以由正弦定理得sin C＝＝×＝. (2)因为a＝7，所以c＝×7＝3. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得72＝b2＋32－2b×3×， 解得b＝8或b＝－5(舍)． 所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝6. 10．(2023年·福建五校第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos C＝(2b－c)cos A. (1)求角A的大小； (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值． 解：(1)由正弦定理可得，sin Acos C＝2sin Bcos A－sin Ccos A， 从而sin(A＋C)＝2sin Bcos A， 即sin B＝2sin Bcos A. 又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝， 又A为三角形的内角，所以A＝. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋c2－2bc×≥2bc－bc， 所以bc≤4(2＋)，所以S△ABC＝bcsin A≤2＋，故△ABC面积的最大值为2＋. [综合题组练] 1．(2023年·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝(　　) A. B. C. D．2 解析：选C.如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝.故选C. 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为 ． 解析：由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3. 答案：3 3．(2023年·重庆市学业质量调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为accos B，且sin A＝3sin C. (1)求角B的大小； (2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长． 解：(1)因为S△ABC＝acsin B＝accos B， 所以tan B＝. 又0＜B＜π，所以B＝. (2)sin A＝3sin C，由正弦定理得，a＝3c，所以a＝6. 由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b＝2. 所以cos A＝＝＝－. 因为D是AC的中点，所以AD＝. 所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋()2－2×2××＝13. 所以BD＝. 4．(2023年·原创题)在△ABC中，sin A∶cos B∶tan A＝12∶16∶15. (1)求sin C； (2)若AB＝8，点D为△ABC外接圆上的动点，求·的最大值． 解：(1)由sin A∶tan A＝12∶15，得cos A＝，故sin A＝，所以由sin A∶cos B＝12∶16，得cos B＝，故sin B＝，于是sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝. (2)在△ABC中，由＝，解得AC＝5，由A，B，C，D四点共圆及题干条件，可知∠ADC＝∠ABC时·取得最大值， 设DA＝m，DC＝n，在△DAC中，由余弦定理的推论得cos∠ADC＝＝， 故mn＝m2＋n2－25≥2mn－25， 解得mn≤， 故·＝mn≤×＝50， 当且仅当m＝n＝时，等号成立， 故·的最大值为50. 6