2023学年新教材高中数学课后作业23幂函数新人教A版必修第一册.doc

课后作业(二十三) 复习巩固 一、选择题 1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　) [解析]　y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同． [答案]　D 2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．a<b<c D．b>c>a [解析]　构造幂函数y＝x，x>0，由该函数在定义域内单调递增，知1>a>b；又c＝2>1，知a<c.故c>a>b. [答案]　B 3．函数y＝x的图象大致是图中的(　　) [解析]　∵函数y＝x是奇函数，且α＝>1，∴函数在R上单调递增．故选B. [答案]　B 4．若幂函数y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的图象不过原点，且关于原点对称，则(　　) A．m＝－2 B．m＝－1 C．m＝－2或m＝－1 D．－3≤m≤－1 [解析]　根据幂函数的概念，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1或m＝－2.若m＝－1，则y＝x－4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m＝－2，则y＝x－3，其图象不过原点，且关于原点对称． [答案]　A 5．下列结论中，正确的是(　　) A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数 D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数 [解析]　当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．故选C. [答案]　C 二、填空题 6．若y＝ax是幂函数，则该函数的值域是________． [解析]　由已知y＝ax是幂函数，得a＝1，所以y＝x，所以y≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)． [答案]　[0，＋∞) 7．函数y＝3xα－2的图象过定点________． [解析]　依据幂函数y＝xα性质，x＝1时，y＝1恒成立，所以函数y＝3xα－2中，x＝1时，y＝1恒成立，即过定点(1,1)． [答案]　(1,1) 8．已知当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图象恒在直线y＝x的上方，则α的取值范围是________． [解析]　由幂函数的图象特征知α>1. [答案]　(1，＋∞) 三、解答题 9．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，试求出此函数的解析式，判断奇偶性． [解]　设y＝xα(α∈R)，∵图象过点， ∴2α＝，α＝－，∴f(x)＝x. ∵函数y＝x＝，定义域为(0，＋∞)，函数为非奇非偶函数． 10．已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，满足： ①是区间(0，＋∞)上的增函数； ②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0. 求同时满足①，②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域． [解]　因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}， 所以m＝－1,0,1. 因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． 当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②； 当m＝1时，f(x)＝x0条件①、②都不满足． 当m＝0时，f(x)＝x3条件①、②都满足，且在区间[0,3]上是增函数． 所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]． 综合运用 11．已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5<0(m∈N)，则m＝0或m＝1，当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数，不合题意．当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，因此m＝1，故选B. [答案]　B 12．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　) [解析]　当a<0时，函数y＝ax－是减函数，且在y轴上的截距－>0，y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，∴A、D项均不正确．对于B、C项，若a>0则y＝ax－是增函数，B项错，C项正确，故选C. [答案]　C 13.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　) A．n<m<0 B．m<n<0 C．n>m>0 D．m>n>0 [解析]　由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.当x＝2时，2m>2n，所以n<m<0. [答案]　A 14．已知函数f(x)＝x在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________. [解析]　取值验证．α＝1时，y＝x0，不满足；α＝2时，y＝x，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y＝x满足题意． [答案]　3 15．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数是减函数，求满足(a＋1) <(3－2a) 的a的取值范围． [解]　∵函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减， ∴3m－9<0，解得m<3. 又m∈N*，∴m＝1,2. 又函数图象关于y轴对称， ∴3m－9为偶数．故m＝1. ∴有(a＋1) <(3－2a) . 又∵y＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减， ∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a 或a＋1<0<3－2a. 解得<a<或a<－1. 故a的取值范围为∪(－∞，－1)． 5