2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案直线方程高中数学.docx

第七章 直线和圆的方程 知识结构网络 7.1 直线方程 一、明确复习目标 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式， 2.掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法； 3.能根据条件熟练地求出直线方程. 二．建构知识网络 1.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角 当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° 可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2.直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα〔α≠90°〕 倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，斜率的取值范围是〔－∞，+∞〕 3.直线的方向向量：设F1〔x1，y1〕、F2〔x2，y2〕是直线上不同的两点，那么向量=〔x2－x1，y2－y1〕称为直线的方向向量 向量=〔1，〕=〔1，k〕也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.特别地，垂直于轴的直线的一个方向向量为＝(0,1) 4.直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜成度的。 每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联系。 5.直线方程的五种形式 点斜式：， (斜率存在) 斜截式： (斜率存在) 两点式：，(不垂直坐标轴) 截距式： (不垂直坐标轴,不过原点) 一般式： 6．过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为： A1x+B1y+C1+λ〔A2x+B2y+C2〕=0〔λ∈R〕(除l2外)。 三、双基题目练练手 1.直线xtan+y=0的倾斜角是 A.－ B. C. D. 2直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角范围是 A［，〕∪〔，］ B［0，］∪［，π〕 C［0，］ D［，］ 3.以下四个命题：①经过定点P0〔x0，y0〕的直线都可以用方程y－y0=k〔x－x0〕表示；②经过任意两个不同的点P1〔x1，y1〕、P2〔x2，y2〕的直线都可以用方程〔x2－x1〕〔x－x1〕=〔y2－y1〕〔y－y1〕表示；③不经过原点的直线都可以用方程+=1表示；④经过定点A〔0，b〕的直线都可以用方程y=kx+b表示其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 4.〔2023北京11〕假设三点共线，那么的值等于______. 5．过点A(2,1),且在x,y轴上截距相等的直线方程是 6．〔2023北京东城检测〕直线l1：x－2y+3=0，那么直线l1的方向向量a1为____________〔注：只需写出一个正确答案即可〕；l2过点〔1，1〕，l2的方向向量a2,且a1·a2=0，那么l2的方程为____________. 简答:1-3.DBB； 3.解析：对命题①④，方程不能表示倾斜角是90°的直线，对命题③，当直线平行于一条坐标轴时，那么直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线，只有②正确。 4.； 5.(x+y=3或y=x/2)强调：截距式的使用范围 6.解析：由方向向量定义即得a1为〔2，1〕或〔1，〕. a1·a2=0，即a1⊥a2. 也就是l1⊥l2，即k1·k2=－1. 再由点斜式可得l2的方程为2x+y－3=0. 答案：〔2，1〕或〔1，〕 2x+y－3=0 四、经典例题做一做 【例1】△ABC的三个顶点是A〔4，－1〕、B〔0，3〕、C〔7，3〕， (1)求AB边的中线所在直线的方程; (2)求∠C的一平分线的方程. 解(1)由中点公式得AB中点D(2,1),中线CD所在直线的方程为 . (2)由两点间距离公式得|AC|=5, |BC|=7. 设∠C的平分线与边AB的交点为E,由三角形内角平分线的性质知E分有向线段AB所成的比λ=,由定比分点公式得, 由两点式方程得,直线CE的方程为:x-2y-1=0. ∴∠C的平分线的方程为:x-2y-1=0 (). 【例2】 两点A〔－1，2〕、B〔m，3〕 〔1〕求直线AB的斜率k与倾斜角α； 〔2〕求直线AB的方程； 〔3〕实数m∈［－－1，－1］，求直线AB的倾斜角α的取值范围． 解：〔1〕当m=－1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角α＝． 当m≠－1时，k＝， 当m＞－1时，α＝arctan， 当m＜－1时，α＝π＋arctan． 〔2〕当m=－1时，AB：x=－1， 当m≠1时，AB：y－2=〔x+1〕． 〔3〕①当m=－1时，α＝； ②当m≠－1时， ∵k＝∈〔－∞，－］∪［，＋∞〕， ∴α∈［，〕∪〔，］ 故综合①、②得，直线AB的倾斜角α∈［，］ 【例3】两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P〔2，3〕，求过两点Q1〔a1，b1〕、Q2〔a2，b2〕〔a1≠a2〕的直线方程 分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答 解：∵P〔2，3〕在直线上， ∴ 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0 ∴2〔a1－a2〕+3〔b1－b2〕=0，即=－ ∴所求直线方程为y－b1=－〔x－a1〕 ∴2x+3y－〔2a1+3b1〕=0，即2x+3y+1=0 ◆提炼方法：1.由求斜率; 2.运用了整体代入的思想，方法巧妙. 【例4】一条直线经过点P〔3，2〕，并且分别满足以下条件，求直线方程： 〔1〕倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍； 〔2〕与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小〔O为坐标原点〕 解：〔1〕设所求直线倾斜角为θ，直线的倾斜角为α，那么θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝， 从而方程为8x－15y+6=0 〔2〕设直线方程为＋＝1，a＞0，b＞0， 代入P〔3，2〕，得＋＝1≥2，得ab≥24， 从而S△AOB＝ab≥12， 此时＝，∴k＝－＝－ ∴方程为2x+3y－12=0 ◆解法点评：此题〔2〕也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值 【研讨.欣赏】(2023广东)在平面直角坐标系中，矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合〔如图5所示〕.将矩形折叠，使A点落在线段DC上. 〔Ⅰ〕假设折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程； 〔Ⅱ〕求折痕的长的最大值. 解：设点A关于拆痕的对称点E，由于点E在线段DC上，故可设点E的坐标为〔t，1〕〔〕． 　　　　　　〔图3〕　　　　　〔图4〕 　　　　　　〔图5〕　　　　　〔图6〕 〔Ⅰ〕假设，那么“拆痕〞所在的直线为线段AD的中垂线，它的方程为　　　　　　　　　　　　　； 假设，由，那么， 从而线段AE的中点M的坐标为，故“拆痕〞所在直线的方程为　　　　　　　　　　　　　． 综上所述，“拆痕〞所在直线的方程为． 〔Ⅱ〕设“拆痕〞的长为． 〔1〕当“折痕〞过AD的中点时〔如图3〕，； 当“折痕〞过点B时〔如图4〕，由于求得．所以，当时，“折痕〞与y轴及均有交点，分别求得为、． 此时，　　　　　　　　． 由于l是关于k的函数，它在上是减函数，所以，当时， ． 　　〔2〕当“折痕〞过点D时〔如图5〕，．所以，当时，“折痕〞与y轴及轴均有交点，分别求得为、． 此时，　　　　　　　　． 设　，那么，由此得： 当时，；当时，；当时，．所以，，或． 由于，所以， ． 〔3〕当“折痕〞过AC的中点时〔如图6〕，求得．所以，当时，“折痕〞与及轴均有交点，分别求得为、． 此时，　　　　　　　． 由于l是关于k的函数，它在上是增函数，所以，当时，． 　　由于，所以“拆痕〞的长的最大值为． 五．提炼总结以为师 1直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的根本量，应正确理解和运用； 2.直线方程有五种形式.其中点斜式、两点式、斜截式、截距式都是直线方程的特殊形式，点斜式是最根本的、重要的，其他形式的方程皆可由它推导.直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，应用时要注意它们各自适用的范围，以防止漏解.常需要分类讨论. 3.求直线方程通用的方法是待定系数法；根据所给条件选择恰当的直线方程的形式是解题的关键； 同步练习 7.1 直线方程 【选择题】 1.直线x－2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k的范围是 A.k≥－1 B.k≤1 C.－1≤k≤1且k≠0 D.k≤－1或k≥1 2.〔2023湖南〕设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0，那么a、b满足 A.a+b=1 B.a－b=1 C.a+b=0 D.a－b=0 3.平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1，那么＝，其中＝ ( ) A.　　　B.－　　　C.2　　D.－2 【填空题】 4.(2023春上海) 直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，那么三角形面积的最小值为 . 5．假设直线(m2─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限，那么实数m的取值范围是 ; 6.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 ( ─1/3) 简答提示： 1.解析：令x=0，得y=k；令y=0，得x=－2k. ∴三角形面积S=｜xy｜=k2. 又S≤1，即k2≤1，∴－1≤k≤1. 又∵k=0时不合题意，应选C. 2.解析：0°≤α＜180°，又sinα+cosα=0，α=135°， ∴a－b=0.答案：D； 3.D 4.4； 5. (1/2£m£1)； 6.解：由于将直线平移不影响其斜率的值,故可设点O(0,0)在直线上，那么依题意O点经平移后的坐标为P(─3,1), 故直线l过两点P,O,求出斜率即可 【解答题】 7.两点A〔－1，2〕、B〔m，3〕 〔1〕求直线AB的斜率k与倾斜角α； 〔2〕求直线AB的方程； 〔3〕实数m∈［－－1，－1］，求直线AB的倾斜角α的取值范围． 解：〔1〕当m=－1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角α＝． 当m≠－1时，k＝， 当m＞－1时，α＝arctan， 当m＜－1时，α＝π＋arctan． 〔2〕当m=－1时，AB：x=－1， 当m≠1时，AB：y－2=〔x+1〕． 〔3〕①当m=－1时，α＝； ②当m≠－1时， ∵k＝∈〔－∞，－］∪［，＋∞〕， ∴α∈［，〕∪〔，］ 故综合①、②得，直线AB的倾斜角α∈［，］ 8.过点P(2,1)作直线分别交x,y轴正并轴于A，B两点 (1)当ΔAOB面积最小时，求直线的方程; (2)当|PA|´|PB|取最小值时，求直线的方程 解：(1)设所求的直线方程为(a>0,b>0), 由 于是=,∴SΔ AOB=³4, 当且仅当,即a=4,b=2时取等号, 此时直线的方程为,即x+2y─4=0 (2):设直线:y─1=k(x─2),分别令y=0,x=0,得A(2─,0), B(0,1─2k) 那么|PA|´|PB|==³4,当且仅当k2=1,即k=±1时,取最小值,