2023年新课标高考数学理科试题分类精编4导数高中数学.docx

202323年-2023年新课标高考数学〔理科〕试题分类精编 第4局部-导数 一、选择题 1.(2023年全国理3)曲线在点〔-1，-1〕处的切线方程为 〔A〕y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2 【答案】A 解析：，所以，故切线方程为． 另解：将点代入可排除B、D，而，由反比例函数的图像，再根据图像平移得在点处的切线斜率为正，排除C，从而得A． 2.( 2023年辽宁理1O)点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，那么a的取值范围是 (A)[0,) (B) (D) 【答案】D 3.〔2023年天津理4〕设函数那么 A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。 C在区间内有零点，在区间内无零点。 D在区间内无零点，在区间内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，根底题。 解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，应选择D。 4.〔2023年安徽理9〕函数在R上满足，那么曲线在点处的切线方程是 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕高.考.资.源.网 [解析]：由得， 即，∴∴，∴切线方程为 ，即选A 5.(2023年辽宁理7)曲线在点处的切线方程为 D 解析： ，， ∴切线方程为，即。 6.(2023年广东理7)设，假设函数，有大于零的极值点，那么〔 〕 A． B． C． D． 【解析】，假设函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为. B 7.(202323年海南理10)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为〔　〕 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】：D【分析】：曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程为那么切线与坐标轴交点为 所以： 二、填空题 1．(2023年江苏8)函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，那么a1+a3+a5=_________ 【答案】21[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以。 2.(2023年陕西理16)设曲线在点〔1，1〕处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，那么的值为 答案：-2 3.(2023年江苏3)函数的单调减区间为 . [解析] 考查利用导数判断函数的单调性。， 由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 4.(2023年江苏9)在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，曲线C在点P处的切线的斜率为2，那么点P的坐标为 . [解析] 考查导数的几何意义和计算能力。 ，又点P在第二象限内，点P的坐标为〔-2，15〕 5.(2023年福建理14)假设曲线存在垂直于轴的切线，那么实数取值范围是_____________. 【答案】：解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线， 所以。 6.(2023年江苏8)设直线是曲线的一条切线，那么实数的值是 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令得，故切点〔2，ln2〕，代入直线方程，得，所以b＝ln2－1． 7.(2023年江苏14)设函数，假设对于任意的都有成立，那么实数的值为 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．假设x＝0，那么不管取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为， 设，那么， 所以 在区间上单调递增， 在区间上单调递减，因此，从而≥4； 当x＜0 即时，≥0可化为， 在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4 三、解答题 1.〔2023年陕西卷理21〕〔本小题总分值14分〕 函数f〔x〕=，g〔x〕=alnx，aR。 (1)假设曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程； (2)设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值〔a〕的解析式； (3)(理)对〔2〕中的〔a〕和任意的a>0，b>0，证明： (文) 对〔2〕中的〔a〕，证明：当a〔0，+〕时， 〔a〕1. 解 〔1〕f’(x)=,g’(x)=(x>0),由得 =alnx， =， 解德a=,x=e2,两条曲线交点的坐标为〔e2,e〕 切线的斜率为k=f’(e2)= ,切线的方程为y-e=(x- e2). （1） 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=, 所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在〔0，〕上递减； 当x>时，h (x)>0，h(x)在〔0，〕上递增。 所以x>是h(x)在〔0， +∞ 〕上的唯一极致点，且是极小值点， 从而也是h(x)的最小值点。所以Φ 〔a〕=h()= 2a-aln=2 〔2〕当a  ≤   0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在〔0，+∞〕递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值Φ 〔a〕的解析式为2a(1-ln2a) (a>o) 〔3〕 〔文〕由〔2〕知Φ 〔a〕=2a(1-ln2a) 那么 Φ 1〔a 〕=-2ln2a，令Φ 1〔a 〕=0 解得 a =1/2 当 0<a<1/2时，Φ 1〔a 〕>0，所以Φ 〔a 〕 在(0,1/2) 上递增 当 a>1/2 时， Φ 1〔a 〕<0，所以Φ〔a 〕 在 (1/2, +∞)上递减。 所以Φ〔a 〕在(0, +∞)处取得极大值Φ〔1/2 〕=1 因为Φ〔a 〕在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ〔1/2〕=1也是Φ〔a〕的最大值 所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ〔a〕  ≤  1 2．〔2023年全国理21〕〔本小题总分值12分〕 设函数。 (1)假设，求的单调区间； (2)假设当时，求的取值范围 解：〔1〕时，，. 当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加 〔II〕由〔I〕知，当且仅当时等号成立.故 ，从而当，即时，，而，于是当时，.由可得.从而当时，， 故当时，，而，于是当时，. 综合得的取值范围为. 3．(2023年安徽理17)〔本小题总分值12分〕 设为实数，函数。 (Ⅰ)求的单调区间与极值； (Ⅱ)求证：当且时，。 4．〔2023年天津理21〕〔本小题总分值14分〕 函数f(x)=xe-x〔xR〕. (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值； (Ⅱ)函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称， 证明当x>1时，f(x)>g(x) (Ⅲ)如果且证明 【命题意图】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等根底知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。 【解析】〔Ⅰ〕解：f’令f’(x)=0,解得x=1 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X () 1 () f’(x) + 0 - f(x) 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= 〔Ⅱ〕证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x) 令F(x)=f(x)-g(x),即于是 当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F〔x〕在[1,+∞)是增函数。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：〔1〕假设 〔2〕假设 根据〔1〕〔2〕得 由〔Ⅱ〕可知，>,那么=，所以>,从而>.因为，所以，又由〔Ⅰ〕可知函数f(x)在区间〔-∞，1〕内事增函数，所以>,即>2. 5．(2023年北京理18)(本小题共13分) 函数 (Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，)处的切线方程； (Ⅱ)求()的单调区间。 解：〔I〕当时， 由于所以曲线处的切线方程为 。即 〔II〕当时， 因此在区间上，；在区间上，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，得; 因此，在区间和上，；在区间上，； 即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，.的递增区间为 当时，由，得； 因此，在区间和上，，在区间上，； 即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为 6．(2023年福建理20)〔本小题总分值14分〕 〔Ⅰ〕函数，。 〔i〕求函数的单调区间； 〔ii〕证明：假设对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点 ，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段 〔Ⅱ〕对于一般的三次函数〔Ⅰ〕〔ii〕的正确命题，并予以证明。 【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等根底知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。 【解析】〔Ⅰ〕〔i〕由得=， 当和时，； 当时，， 因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。 〔ii〕曲线C与其在点处的切线方程为 得， 即，解得，进而有 ，用代替，重复上述计算过程，可得 和，又，所以因此有。 〔Ⅱ〕记函数的图象为曲线，类似于〔Ⅰ〕〔ii〕的正确命题为：假设对任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点 ，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段 证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似〔i〕〔ii〕的计算可得，故。 7．(2023年湖南20)〔本小题总分值13分〕 函数对任意的，恒有。 〔Ⅰ〕证明：当时，； 〔Ⅱ〕假设对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立， 求M的最小值。 8．(2023年山东理22)(本小题总分值14分) 函数. (Ⅰ)当时，讨论的单调性； 〔Ⅱ〕设当时，假设对任意，存在，使 ，求实数取值范围. 【解析】(Ⅰ)原函数的定义域为〔0，+，因为 =， 所以当时，，令得，所以 此时函数在〔1，+上是增函数；在〔0，1〕上是减函数； 当时，，所以 此时函数在〔0，+是减函数； 当时，令=得，解得〔舍去〕， 此时函数在〔1，+上是增函数；在〔0，1〕上是减函数； 当时，令=得，解得，此时函数 在〔1，上是增函数；在〔0，1〕和+上是减函数； 当时，令=得，解得，此时函数 在1〕上是增函数；在〔0，〕和+上是减函数； 当时，由于，令=得，可解得0，此时函数在〔0，1〕上是增函数；在〔1，+上是减函数。 〔Ⅱ〕当时，在〔0，1〕上是减函数，在〔1，2〕上是增函数，所以对任意， 有，又存在，使，所以，，即存在，使，即， 即，所以，解得，即实数取值范围是。 【命题意图】此题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。 〔1〕直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；〔2〕利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或别离常数法求出在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数。 〔标准答案〕〔22〕本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。 解：〔Ⅰ〕因为， 所以 ， 令 ， ①当时，恒成立，此时，函数 在上单调递减； ②当， 时，，此时，函数单调递减；