2023学年新教材高中数学课后作业36函数模型的应用新人教A版必修第一册.doc

课后作业(三十六) 复习巩固 一、选择题 1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是(　　) A. B. C.－1 D.－1 [解析]　设每月的产量增长率为x,1月份产量为a， 则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1. [答案]　D 2．有一组实验数据如下表所示： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 则能体现这些数据关系的函数模型是(　　) A．u＝log2t B．u＝2t－2 C．u＝ D．u＝2t－2 [解析]　 可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示． 由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C. [答案]　C 3．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为(　　) A．300只 B．400只 C．500只 D．600只 [解析]　由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300. [答案]　A 4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　) A．1010.1 B．10 C．lg10.1 D．10－10.1 [解析]　两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，令m2＝－1.45，m1＝－26.7， 则lg＝(m2－m1)＝×(－1.45＋26.7)＝10.1，从而＝1010.1.故选A. [答案]　A 5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　) A．125 B．100 C．75 D．50 [解析]　由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝. 设经过t1天后，一个新丸体积变为a， 则a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝， ∴＝，t1＝75. [答案]　C 二、填空题 6．某化工厂2023年年的年产量是2010年年产量的n倍，则该化工厂这几年的年平均增长率是________． [解析]　设2010年年产量是a，则2023年年年产量是na，设年平均增长率为x，则na＝a(1＋x)8，解得x＝－1. [答案]　－1 7．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时． [解析]　由题意，得②÷①，得e22k＝(e11k)2＝，故e11k＝.故食品在33℃的保鲜时间是y＝e33k＋b＝(e11k)3×eb＝3×192＝24(小时)． [答案]　24 8．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件． [解析]　∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有解得 ∴y＝－2×(0.5)x＋2. 当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)． [答案]　1.75 三、解答题 9．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量． (1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ [解]　(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log2.解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位． (2)将耗氧量Q＝80代入公式得：v＝5log2＝5log28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/s. 10．我国某种南方植物生长时间(单位：年)与高度(单位：米)如下表所示： 生长时间 2 4 5 8 9 高度 2.01 3.01 3.50 4.99 5.47 (1)试猜测生长时间与高度之间的函数关系，并近似地写出一个函数关系式； (2)利用关系式估计该植物长成高50米的参天大树需要多少年． [解]　 (1)设生长时间为x年，高度为y米，根据表格中的数据，在平面直角坐标系中进行描点，如图所示．从图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择一次函数建立数学模型． 故所求的函数关系式可设为y＝kx＋b(其中k≠0，x∈N＋)． 把直线通过的两点(5,3.50)和(9,5.47)代入上式，得方程组 解得 因此所求的函数关系式为y＝0.4925x＋1.0375(x∈N＋)． 分别将x＝2，x＝4，x＝8代入上式，得y的相应值分别为2.0225,3.0075,4.9775，与实际值相比，误差不超过0.02米，因此建立的函数模型能反映该植物生长时间与高度之间的函数关系． (2)令0.4925x＋1.0375＝50，解得x≈100，即该植物大约要经过100年才能长成高50米的参天大树． 综合运用 11.为了预防甲型H1N1等流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示． (1)从药物释放开始，写出y与t的函数关系式； (2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室． [解]　(1)由图象可知，当0≤t≤0.1时，即药物从开始释放到完毕，y＝10t； 当t＝0.1时，即药物释放完毕，由1＝0.1－a，得a＝0.1， ∴当t>0.1时，y＝t－0.1. ∴y＝ (2)由题意可知，t－0.1<0.25，得t>0.6，即这次消毒0.6×60＝36(分钟)后，学生才能进教室． 12．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)．日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的部分数据如下表所示： x(天) 10 20 25 30 Q(x)(件) 110 120 125 120 已知第10天的日销售收入为121百元． (1)求k的值； (2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax＋b，②Q(x)＝a|x－25|＋b，③Q(x)＝a·bx，④Q(x)＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的关系，并求出该函数的解析式； (3)求该服装的日销售收入f(x)(1≤x≤30，x∈N＋)(百元)的最小值． [解]　(1)依题意知第10天的日销售收入为 P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1. (2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b. 从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)，经检验，其他数据也符合该解析式，故该函数的解析式为Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)． (3)由(2)知 当1≤x<25时，y＝x＋在[1,10]上是减函数，在[10,25)上是增函数，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121； 当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝124. 综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121. 从而，该服装的日销售收入的最小值为121百元． 6