2023年高考数学一轮复习第五章数列质量检测高中数学.docx

第五章　数　列 (自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！) (时间120分钟，总分值150分) 一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．) 1．(2023·黄冈模拟)记等比数列{an}的公比为q，那么“q>1”是“an＋1>an(n∈Nx)〞的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：可以借助反例说明：①如数列：－1，－2，－4，－8，…公比为2，但不是增数列； ②如数列：－1，－，－，－，…是增数列，但是公比为<1. 答案：D 2．{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，那么过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为 (　　) A．4　　　　　　 B. C．－4 D．－ 解析：∵{an}为等差数列， ∴S5＝＝5a3＝55， ∴a3＝11， ∴kPQ＝＝a4－a3＝15－11＝4. 答案：A 3．(2023·辽宁高考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，假设＝3，那么＝ (　　) A．2 B. C. D．3 解析：由等比数列的性质： S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是，由S6＝3S3，可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝. 答案：B 4．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1，那么a2等于 (　　) A．－ B. C. D. 解析：Sn＝an－1，取n＝1，得S1＝5a1－5，即a1＝.取n＝2，得a1＋a2＝5a2－5，＋a2＝5a2－5，所以a2＝. 答案：D 5．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，假设a1＝1，那么S4＝(　　) A．7 B．8 C．15 D．16 解析：不妨设数列{an}的公比为q， 那么4a1,2a2，a3成等差数列可转化为2(2q)＝4＋q2，得q＝2. S4＝＝15. 答案：C 6．假设数列{an}的通项公式为an＝，那么{an}为 (　　) A．递增数列 B．递减数列 C．从某项后为递减 D．从某项后为递增 解析：由得an>0，an＋1>0，∴＝，当>1即n>9时，an＋1>an，所以{an}从第10项起递增；n<9时，an＋1<an，即前9项递减． 答案：D 7．等差数列{an}的通项公式是an＝1－2n，其前n项和为Sn，那么数列{}的前11项和为(　　) A．－45 B．－50 C．－55 D．－66 解析：由等差数列{an}的通项公式得a1＝－1，所以其前n项和 Sn＝＝＝－n2. 那么＝－n.所以数列{}是首项为－1， 公差为－1的等差数列，所以其前11项的和为 S11＝11×(－1)＋×(－1)＝－66. 答案：D 8．数列{an}中，a3＝2，a7＝1，假设{}为等差数列，那么a11＝ (　　) A．0 B. C. D．2 解析：由可得＝，＝是等差数列{}的第3项和第7项，其公差d＝＝， 由此可得＝＋(11－7)d＝＋4×＝. 解之得a11＝. 答案：B 9．在等比数列{an}中，假设a3a5a7a9a11＝32，那么的值为 (　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 解析：由等比数列的性质得a3·a11＝a5·a9＝a，所以a7＝2，故＝＝a7＝2. 答案：B 10．两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，那么使得为整数的正整数n的个数是 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：由等差数列的前n项和及等差中项， 可得＝＝＝ ＝＝＝＝7＋(n∈Nx)，故n＝1,2,3,5,11时，为整数． 答案：D 11．(2023·平顶山模拟){an}是递增数列，对任意的n∈Nx，都有an＝n2＋λn恒成立，那么λ的取值范围是 (　　) A．(－，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－3，＋∞) 解析：数列{an}是递增数列，且an＝n2＋λn，那么an＋1－an＝2n＋1＋λ>0在n≥1时恒成立，只需要λ>(－2n－1)max＝－3，故λ>－3. 答案：D 12．数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，那么该数列的前2 008项的和等于 (　　) A．1 506 B．3 012 C．1 004 D．2 008 解析：因为a1＝，又an＋1＝＋，所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝，故数列的前2 008项的和为S2 008＝1 004·(1＋)＝1 506. 答案：A 二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上) 13．(2023·长郡模拟)数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝，假设a6＝1，那么m所有可能的取值为________． 解析：由a6＝1⇒a5＝2⇒a4＝4⇒a3＝1或8⇒a2＝2或16⇒a1＝4或5、32. 答案：4,5,32 14．数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋(n≥2)，那么{an}的通项公式为________． 解析：an－an－1＝＝(－)，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(－＋－＋…＋1－＋1)，得：an＝－. 答案：an＝－ 15．等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn(n∈Nx)．假设a1>1，a4>3，S3≤9，那么通项公式an＝________. 解析：由a1>1，a4>3，S3≤9得，，令x＝a1，y＝d得，，在平面直角坐标系中作出可行域可知符合要求的整数点只有(2,1)，即a1＝2，d＝1，所以an＝2＋n－1＝n＋1. 答案：n＋1 16．(文)将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2　3 4　5　6 7　8　 9　10 11　12　13　14　15 …　…　…　…　…　… 根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是________． 解析：前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)＝个，即个， 因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个， 即为. 答案： (理)下面给出一个“直角三角形数阵〞： ， ，， … 满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij(i≥j，i，j∈Nx)，那么a83＝________. 解析：由题意知，a83位于第8行第3列，且第1列的公差等于，每一行的公比都等于.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为＋(8－1)×＝2，a83＝2×()2＝. 答案： 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题总分值12分)数列{an}中，其前n项和为Sn，且n，an，Sn成等差数列(n∈Nx)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求Sn>57时n的取值范围． 解：(1)∵n，an，Sn成等差数列， ∴Sn＝2an－n，Sn－1＝2an－1－(n－1)　(n≥2)， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1－1　(n≥2)， ∴an＝2an－1＋1　(n≥2)， 两边加1得an＋1＝2(an－1＋1)　(n≥2)， ∴＝2　(n≥2)． 又由Sn＝2an－n得a1＝1. ∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴an＋1＝2·2n－1，即数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由(1)知，Sn＝2an－n＝2n＋1－2－n， ∴Sn＋1－Sn＝2n＋2－2－(n＋1)－(2n＋1－2－n) ＝2n＋1－1>0， ∴Sn＋1>Sn，{Sn}为递增数列． 由题设，Sn>57，即2n＋1－n>59. 又当n＝5时，26－5＝59，∴n>5. ∴当Sn>57时，n的取值范围为n≥6(n∈Nx)． 18．(本小题总分值12分)设数列{an}满足a1＝t，a2＝t2，前n项和为Sn，且Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0(n∈Nx)． (1)证明数列{an}为等比数列，并求{an}的通项公式； (2)当<t<2时，比拟2n＋2－n与tn＋t－n的大小； (3)假设<t<2，bn＝，求证：＋＋…＋<2n－2－. 解：(1)证明：由Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0，得tSn＋1－tSn＝Sn＋2－Sn＋1，即an＋2＝tan＋1， 而a1＝t，a2＝t2，∴数列{an}是以t为首项，t为公比的等比数列， ∴an＝tn. (2)∵(tn＋t－n)－(2n＋2－n)＝(tn－2n)[1－()n]，又<t<2，∴<<1，那么tn－2n<0且1－()n>0， ∴(tn－2n)[1－()n]<0，∴tn＋t－n<2n＋2－n. (3)证明：∵＝(tn＋t－n)， ∴2(＋＋…＋)<(2＋22＋…2n)＋(2－1＋2－2＋…＋2－n)＝2(2n－1)＋1－2－n＝2n＋1－(1＋2－n)<2n＋1－2， ∴＋＋…＋<2n－2－. 19．(本小题总分值12分)(2023·黄冈模拟)二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a≠0)，不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素，设数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设各项均不为0的数列{cn}中，满足ci·ci＋1<0的正整数i的个数称作数列{cn}的变号数，令cn＝1－(n∈Nx)，求数列{cn}的变号数． 解：(1)由于不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素， ∴Δ＝a2－4a＝0⇒a＝4， 故f(x)＝x2－4x＋4. 由题Sn＝n2－4n＋4＝(n－2)2 那么n＝1时，a1＝S1＝1； n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n－2)2－(n－3)2＝2n－5， 故an＝ (2)由题可得，cn＝. 由c1＝－3，c2＝5，c3＝－3， 所以i＝1，i＝2都满足ci·ci＋1<0， 当n≥3时，cn＋1>cn，且c4＝－， 同时1－>0⇒n≥5， 可知i＝4满足ci、ci＋1<0，n≥5时，均有cncn＋1>0. ∴满足cici＋1<0的正整数i＝1,2,4，故数列{cn}的变号数为3. 20．(本小题总分值12分)数列{an}满足：a1＝1，a2＝，且[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，n∈Nx. (1)求a3，a4，a5，a6的值及数列{an}的通项公式； (2)设bn＝a2n－1·a2n，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)经计算a3＝3，a4＝，a5＝5，a6＝. 当n为奇数时，an＋2＝an＋2，即数列{an}的