2023年高中数学71解析几何初步测试湘教版必修3.docx

解析几何初步 1．圆x2+y2－4x=0在点P〔1，〕处的切线方程为 Ax+y－2=0 Bx+y－4=0 Cx－y+4=0 Dx－y+2=0 2．由点M(5,3)向圆所引切线长是〔 〕 A． B. C. 51 D . 1 3．在圆上,与直线4x+3y-12=0的距离最小的点的坐标为〔 〕 A. B. C. D. 4．假设圆〔x－3〕2＋〔y+5〕2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，那么半径r的范围是 A〔4，6〕 B［4，6〕 C〔4，6］ D［4，6］ 5．直线ax+by+c=0〔abc≠0〕与圆x2+y2=1相切，那么三条边长分别为｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形〔　　〕 A是锐角三角形 B是直角三角形 C是钝角三角形 D不存在 6．假设动圆与圆相外切,且与直线x=2相切,那么动圆圆心的轨迹方程是〔 〕 A. y2+12x-12=0 B. y2-12x+12=0 C. y2+8x=0 D. y2-8x=0 7．〔06年北京〕平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，那么动点的轨迹是〔　〕 A.一条直线 B.一个圆　　　C.一个椭圆 D.　双曲线的一支 8．〔06年湖北〕平面区域由以、、 上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，那么 〔　　〕 A. B. C. D. 4 ９．〔05年天津〕将直线沿轴向左平移1个单位，所得直线与圆 相切，那么实数的值为 〔 〕 A.－3或7 B.－2或8 C 10. “m=〞是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直〞的(　　) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 11．圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A〔0，－4〕、B〔0，－2〕，那么圆C的方程为____________ 12．过点〔1，〕的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ ____ 13．两圆x2+y2=16 及〔x-4〕2+〔y+3〕2=R〔R>0〕在交点处的切线互相垂直,那么R=__________ 14．P〔1，2〕为圆x2+y2=9内一定点，过P作两条互相垂直的任意弦交圆于点B、C，那么BC中点M的轨迹方程为____________ 15．方程ax2+ay2－4〔a－1〕x+4y=0表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程 16．一个圆的圆心在直线x-y-1=0上,与直线4x+3y+14=0相切,在3x+4y+10=0上截得弦长为6,求圆的方程 17．圆C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点假设存在,写出直线的方程;假设不存在,说明理由 18．求圆C1: 与圆C2: 的公共弦所在直线被圆C3:所截得的弦长 19．在平面直角坐标系中，矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合〔如图５所示〕．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上． 〔Ⅰ〕假设折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程； 〔Ⅱ〕求折痕的长的最大值． O (A) B C D X Y 参考答案： 1．解法一：x2+y2－4x=0， y=kx－k+x2－4x+〔kx－k+〕2=0 该二次方程应有两相等实根，即Δ=0，解得k= ∴y－=〔x－1〕，即x－y+2=0 解法二：∵点〔1，〕在圆x2+y2－4x=0上， ∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直 又∵圆心为〔2，0〕，∴·k=－1 解得k=，∴切线方程为x－y+2=0 答案：D 2．答案: A 3．答案: B 4．答案：A 5．答案：B　　解：由题意得=1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜构成的三角形为直角三角形 6．答案: A 7．答案：A　　解：由过一点有且只有一个平面与直线垂直，所以AC始终在与直线AB垂直的平面内，再由两平面有且只有一条交线，所以轨迹是一个直线.. 8．答案：C　　解：由、、的坐标位置知，所在的区域在第一象限，故.由得，它表示斜率为. 〔1〕假设，那么要使z取得最小值，必须使最小，此时需，即1； 〔2〕假设，那么要使z取得最小值，必须使最大，此时需，即2，与矛盾.综上可知，1. 9．答案：A　解：由题意可知：直线沿轴向左平移1个单位后的直线为： .圆的圆心为，半径为.直线与圆相切，那么圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有，得或7. 10.答案：B　　解：当时两直线斜率乘积为，从而可得两直线垂直，当时两直线一条斜率为0是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件. 11．答案：〔x－2〕2+〔y+3〕2=5　　　解：∵圆C与y轴交于A〔0，－4〕，B〔0，－2〕，∴由垂径定理得圆心在y=－3这条直线上又圆心在直线2x－y－7=0上，∴联立y=－3，2x－y－7=0 解得x=2， ∴圆心为〔2，－3〕，半径r=|AC|== ∴所求圆C的方程为〔x－2〕2+〔y+3〕2=5 12．答案： 13．答案：3　提示：用勾股定理推导出所求直线垂直于CP 14．答案：x2+y2－x－2y－2=0　　解：Rt△OMC中，|MP|=|BC|〔直角三角形斜边上的中线是斜边的一半〕故所求轨迹方程为x2+y2－x－2y－2=0 15．解：〔1〕∵a≠0时，方程为［x－］2+〔y+〕2=， 由于a2－2a+2＞0恒成立，∴a≠0且a∈R时方程表示圆 〔2〕r2=4·=4［2(－)2+］， ∴a=2时，rmin2=2 此时圆的方程为〔x－1〕2+〔y－1〕2=2 16．解:由圆心在直线x-y-1=0上,可设圆心为〔a,a-1〕,半径为r,由题意可得 ,经计算得a=2,r=5 所以所求圆的方程为〔x-2〕2+〔y-1〕2=25 17．解:设直线L的斜率为１，且L的方程为y=x+b,那么 　消元得方程２x2+〔2b+2〕x+b2+4b-4=0,设此方程两根为x1,x2，那么x1＋x2＝－〔b+1〕,y1+y2= x1＋x2+2b=b-1,那么ＡＢ中点为，又弦长为＝，由题意可列式＝解得b=1或b=-9,经检验b=-9不合题意．所以所求直线方程为y=x+1 18．解: 圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为: 即x+y-1=0 圆心C3到直线x+y-1=0的距离. 所以所求弦长为. 19．.解(I) 〔1〕当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程 〔2〕当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1) 所以A与G关于折痕所在的直线对称，有 故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标〔线段OG的中点〕为，折痕所在的直线方程，即 由〔1〕〔2〕得折痕所在的直线方程为：k=0时，；时 〔II〕(1)当时，折痕的长为2; 当时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为 令解得 ∴ 所以折痕的长度的最大值2 A 60º y x M Q P O 【挑战自我】 如图，在直角坐标系xOy中，射线OA在第一象限内，且与x轴的正向成定角60º，动点P在射线OA上运动，动点Q在y轴正半轴上运动.△POQ的面积为定值. 〔1〕求线段PQ的中点M的轨迹C的方程； 〔2〕R1、R2是曲线C上的动点，R1、R2到y轴的距离之和为1，设u为R1、R2到x轴距离之积，是否存在最大的常数m，使u≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值，如果不存在，请说明理由. 解：〔1〕依题意，射线OA的方程为y=, 设M〔x,y〕，P〔t,〕(t>0)，那么Q点的坐标为〔2x-t，2y-〕， ∵，即. 又Q点在y轴上，∴2x-t=0,即t=2x，于是：x|y-|=. ∵点P在∠AOQ的内部，∴　y-＞0，且x>0，y>0. 因此有　，这就是M点的轨迹方程. 〔2〕设R1〔x1,y1〕,R2(x2,y2)，那么x1+x2=1，y1y2=u ∴　u=y1y2=3(=3 ∵x1>0，x2>0，x1+x2=1，∴0 于是　，,∴ 因此，当时，u≥m恒成立，故m的最大值为. 【答案及点拨】 演变1：直线BC的斜率kBC＝－， ∵直线AC与直线BC垂直，∴直线AC的方程为y－4＝〔－5〕即3－2y－7＝0 ∵∠ABC＝45°，∴ kAB＝－5或kAB＝ ∴AB边所在的直线方程为:y－4＝〔－5〕或y－4＝－5〔－5〕 即－5y＋15＝0或5＋y－29＝0 演变2：由ÞA(─1,0)又kAB=1, ∵ x轴是∠A的平分线, ∴kAC=─1，∴AC: y=─(x+1), 又kBC=─2, ∴BC: y─2=─2(x─1) 由ÞC(5,─6) 演变3　：由题意知f〔0〕＞0，f〔1〕＜0，f〔2〕＞0b＞0，a+b+1＜0，a+b+2＞0 如以下图A〔－3，1〕、B〔－2，0〕、C〔－1，0〕 又由所要求的量的几何意义知，值域分别为 〔1〕〔，1〕；〔2〕〔8，17〕；〔3〕〔－5，－4〕 演变4: 圆方程化为: ,其圆心P〔1,0〕,半径为1 设所求圆的圆心为C〔a,b〕, 那么半径为, 因为两圆外切, , 从而1+ (1) 又所求圆与直线：相切于M(), 直线,于是, 即 〔2〕 将〔2〕代入〔1〕化简,得a2-4a=0, a=0或a=4 当a=0时,,所求圆方程为 当a=4时,b=0,所求圆方程为 演变5：由可得圆C：关于x轴对称的圆C‘的方程为，其圆心C‘〔2，-2〕，那么与圆C’相切， 设: y-3=k(x+3), ， 整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或， 所以所求直线方程为y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)， 即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 演变6:〔1〕问题可转化为求圆上一点到原点连线的斜率的最大值, 由图形性质可知, 由原点向圆作切线,其中切线斜率的最大值即为的最大值 设过原点的直线为y=kx,即kx-y=0, 由,解得或 〔2〕x,y满足, 另法：应用线性规划的思路，如图， 2x-y的最小值或最大值就在直线2x-y＝b与圆的切点处到达. 由,解得或 演变7：建立坐标系如以下图，设|AB|=2a,那么A(－a,0〕,B(a,0) 设M(x,y〕是轨迹上任意一点 那么由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得 (1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0 (1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴) (2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0 点M的轨迹是以(－，0〕为圆心，为半径的圆 演变8 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，那么在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2) 又|AR|=|PR|= 所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此点R在一