2023年高考数学第二轮复习解析几何教学案.docx

2023年高考第二轮专题复习〔教学案〕：解析几何 第1课时 直线与圆 考纲指要： 直线方程考察的重点是直线方程的特征值〔主要是直线的斜率、截距〕有关问题，以及直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题。 圆的方程，从轨迹角度讲，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。能借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，特别是弦长问题。 考点扫描： 1．直线方程：(1)倾斜角；(2) 斜率；〔3〕直线方程的五种形式。 2．圆的方程：〔1〕圆的标准方程；〔2〕圆的一般方程。 3.两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 4. 根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 考题先知： 例1．某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，镜框对桌面的倾斜角为 (90°≤＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a＞b) 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最正确？ 分析 欲使看画的效果最正确，应使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值 解 建立如以下图的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x＞0),欲使看画的效果最正确，应使∠ACB取得最大值 由三角函数的定义知 A、B两点坐标分别为(acos,asin)、 (bcos,bsin),于是直线AC、BC的斜率分别为 kAC=tanXCA=, 于是 tanACB= 由于∠ACB为锐角，且x＞0,那么tanACB≤, 当且仅当=x，即x=时，等号成立， 此时∠ACB取最大值，对应的点为C(,0), 因此，学生距离镜框下缘 cm处时，视角最大，即看画效果最正确 点评：解决此题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值 如果坐标系选择不当，或选择求sinACB的最大值 都将使问题变得复杂起来 例2．设点A和B为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 分析： 将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系 解法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0) 直线AB的方程为x=my+a 由OM⊥AB，得m=－ 由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0 所以y1y2=－4pa, x1x2= 所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2 所以 故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0) 故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法二 设OA的方程为，代入y2=4px得 那么OB的方程为，代入y2=4px得 ∴AB的方程为，过定点， 由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上〔O点除外〕 故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法三 设M(x,y) (x≠0)，OA的方程为， 代入y2=4px得 那么OB的方程为，代入y2=4px得 由OM⊥AB，得 M既在以OA为直径的圆 ……①上， 又在以OB为直径的圆 ……②上〔O点除外〕， ①+②得 x2+y2－4px=0(x≠0) 故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 点评：此题主要考查“参数法〞求曲线的轨迹方程 当设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时，注意对“x1=x2〞的讨论 复习智略： 例3抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p＞0) 一光源在点M(,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l 2x－4y－17=0上的点N，再折射后又射回点M(如以以下图所示) (1)设P、Q两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明 y1·y2=－p2； (2)求抛物线的方程； (3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？假设存在，请求出此点的坐标；假设不存在，请说明理由 分析：此题考查学生对韦达定理、点关于直线对称、直线关于直线对称、直线的点斜式方程、两点式方程等知识的掌握程度 解： (1)证明 由抛物线的光学性质及题意知 光线PQ必过抛物线的焦点F(，0)， 设直线PQ的方程为y=k(x－) ① 由①式得x=y+,将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2－y－p2=0,由韦达定理，y1y2=－p2 当直线PQ的斜率角为90°时，将x=代入抛物线方程，得y=±p,同样得到y1·y2=－p2 (2)解 因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M(，4)关于l的对称点为M′(x′,y′)，那么 解得 直线QN的方程为y=－1,Q点的纵坐标y2=－1， 由题设P点的纵坐标y1=4，且由(1)知 y1·y2=－p2,那么4·(－1)=－p2, 得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x (3)解 将y=4代入y2=4x,得x=4，故P点坐标为(4，4) 将y=－1代入直线l的方程为2x－4y－17=0,得x=, 故N点坐标为(，－1) 由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y－12=0, 设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1) 又M1(,－1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点(，－1)与点M关于直线PN对称 。 点评：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时 点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键。 检测评估： 1. 假设直线按向量平移后与圆相切，那么的值为( ) A．或 B．或 C．或 D．或 2.如右图,定圆半径为，圆心为 (), 那么直线 与直线的交点在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 xOy中，△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，那么△AOB内部和边上整点〔即横、纵坐标均为整数的点〕的总数是〔 〕 A．95 B．91 C．88 D．75 4. 假设曲线的一条切线与直线垂直，那么的方程为〔 〕 A． B． C． D． 5. 直线x+y－2=0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为〔 〕 A． B． C． D． 6.假设圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,那么直线的倾斜角的取值范围是 . 7．过点交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB 最小时，直线l的方程为 . 8． 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，那么地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________ 9、在等差数列中，为首项，是其前项的和，将整理为 后可知：点〔是正整数〕 都在直线上，类似地，假设是首项为，公比为的等比数列， 那么点〔是正整数〕在直线________上 10. 实数满足，且，，那么的最小值为　　　 ; 11 设数列{an}的前n项和Sn=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常数且b≠0 (1)证明 {an}是等差数列 (2)证明 以(an,－1)为坐标的点Pn(n=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程 (3)设a=1,b=,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r＞0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围 12．某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个适宜的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？ 点拨与全解： ，即，由圆心到直线之距公式得得，选A。 2．从图知，且，两直线交点为，选C。 3.解：由y=10－x〔0≤x≤15，x∈N〕转化为求满足不等式y≤10－x〔0≤x≤15，x∈N〕所有整数yx=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，yB。 4.解:与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，应选A。 5.解析：如以下图： 图 由 消y得：x2－3x+2=0，∴x1=2，x2=1。 ∴A〔2，0〕，B〔1，〕 ∴|AB|==2 又|OB|＝|OA|=2， ∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=，应选C。 6.解：圆方程化为，所以由得 所以直线的倾斜角的取值范围是。 7．解：可证当CM⊥AB时，∠ACB最小，从而直线方程，即 8 解析 设P(x,y)，依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0 9．由等比数列的求和公式得，所以在直线上。 10.解：M表示定点〔-1，-3〕与圆周上的点连线的斜率，设连线方程为，当时，即时有最小值。 11 (1)证明 由条件，得a1=S1=a,当n≥2时， 有an=Sn－Sn－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b 因此，当n≥2时，有an－an－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b 所以{an}是以a为首项，2b为公差的等差数列 (2)证明 ∵b≠0,对于n≥2,有 ∴所有的点Pn(an,－1)(n=1,2,…)都落在通过P1(a,a－1)且以为斜率的直线上 此直线方程为y－(a－1)= (x－a),即x－2y+a－2=0 (3)解 当a=1,b=时，Pn的坐标为(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圆C外的条件是 由不等式①,得r≠1 由不等式②，得r＜－或r＞+ 由不等式③，得r＜4－或r＞4+ 再注意到r＞0,1＜－＜4－=+＜4+ 故使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是 (0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞) 设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切 建立如以下图的坐标系，并设⊙P的半径为r,那么 |PA|+|PO|=(1+r)+(1 5－r)=2 5 ∴点P在以A、O为焦点，长轴长2 5的椭圆上，其方程为 =1 ① 同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x－)2+y2=1 ② 由①、②可解得， ∴r= 故所求圆柱的直径为 cm