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2023年积累基本活动经验落实数学核心素养.docx
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2023 积累 基本 活动 经验 落实 数学 核心 素养
积累根本活动经验,落实数学核心素养 于涛 []文章以“两角差的余弦公式〞教学设计为例,创新教学活动,从几何直观到代数推理,引导学生经历数学实践活动和思维活动,积累根本活动经验,培养数学核心素养, [关键词]根本活动经验;核心素养;两角差的余弦公式 普通高中数学课程标准〔2023年版〕指出:通过高中数学课程的学习,学生能获得进一步学习以及未来开展所必需的数学根底知识、根本技能、根本思想、根本活动经验〔简称“四基〞〕,课标〔2023年版〕将“双基〞提升为“四基〞,首次提出根本活动经验是数学学习的根底,史宁中教授认为,数学活动既应包含具体身体行动的活动,也应包括数学思维活动,这样根本活动经验主要就是两个经验:一个是学生的实践经验,培养学生的数学直观:另一个是学生的思维经验,培养学生会思考问题,因此,数学根本活动经验渗透在整个数学教学中,成为落实数学核心素养的有效途径,下面以“两角差的余弦公式〞为例,谈谈通过恰当创设教学活动,引导学生积累根本活动经验,培养数学核心素养。 1根本情况 1.1教材内容分析 两角差的余弦公式是在学习三角函数、向量等知识后,研究的第一个两个角的三角计算公式,它是研究其它两角和差公式、倍角公式的根底,具有承上启下的作用,从知识生成的过程看,本节课的知识源白天文学的测量问题,涉及几何图形的长度、面积、角度等度量问题,从推导公式的过程看,需要应用单位圆等数学模型,联系三角函数、向量等知识。 1.2学生学情分析 学生在初中学习了用直角三角形定义锐角三角函数,在高中学习了用单位圆定义任意角三角函数,从静态的锐角到动态的任意角,学生先后学习了两个重要数学模型:直角三角形和单位圆,但还不能将解决角的问题与应用数学模型相结合,另外,学生在初中学习勾股定理及其证明时,初步体会了将几何图形的相互关系〔面积关系〕转化为代数表示〔勾股定理〕,具备了一定的直观想象意识。 1.3教学目标设置 〔1〕借助勾股定理的证明方法,回忆用几何图形的相互关系研究代数关系的根本思路,开展学生提出问题的能力: 〔2〕结合活动探究,经历从几何直观到代数表示,初步得到两角〔锐角〕差的余弦公式,培养几何直观素养: 〔3〕会用任意角的单位圆模型证明两角差的余弦公式,感悟从具体到抽象、特殊到一般、数形结合等根本思想,培养逻辑推理素养: 〔4〕通过例题及变式的教学,掌握两角差的余弦公式,培养数学运算素养: 〔5〕借助探究性作业,深化根本活动经验,开展学生的创新意识, 重点:两角差的余弦公式, 难点:两角差的余弦公式的生成与推广过程, 2教学过程 2.1复习回忆,创设情境 问题1如图1.说说初中课本勾股定理证明方法的思路和根本思想? 学生:用四个全等Rt△构造出两个全等正方形,根据两个图形中阴影局部和空白局部的面积分别相等,得到a2+b2=c2表达了数形结合的根本思想。 教师:这个方法表达了形数统一,既严密又直观, 问题2几何图形的度量和计算除了长度、面积,还有角度,如图2.假设直角三角形斜边长为1.其中一个锐角为θ,请仿照勾股定理的证明思路,说出有关θ的等式。 学生:平方关系sin2θ+cos2θ=1 教师:不过这个几何图形〔图2〕只能证明锐角平方关系,要证明任意角平方关系需要用单位圆模型。 设计意图 勾股定理的证明是通过对几何图形的拼接、割补来证明代数关系的,证明过程重在通过对几何图形的度量和计算,将几何关系转化为代数表示,是以形证数的典范,以此唤醒学生直观想象的意识,鉴于几何度量不仅包含长度、面积,还包含角度,通过相同图形,不同代数观测,得到不同的代数表示,培养学生学会用数学的眼光观察几何图形,开展学生提出问题的能力,从长度到角度,用图1、图2分别证明勾股定理和平方关系〔锐角〕的思维过程是类似的,是探究发现两角〔锐角〕差的余弦公式的重要活动经验。 2.2合作交流,探究发现 活动:请用两对斜边长为1的直角三角形〔如图3〕,其中一对含锐角α,另一对含锐角β,仿照勾股定理的证明思路,探究有关α与β的等式,〔注:学生每人两对直角三角形,同桌为一组〕 公式:平行四边形面积公式〔如图4〕:S□=absinθ 探究结果展示:〔请一个小组分享,简述证明思路〕 教师:这个公式就是两角差的余弦公式,但是只证明了α和β是锐角的情形。 设计意图 活动的创设是问题2的变式,从四个全等直角三角形的一个锐角的等量关系的发现,到两组全等直角三角形的两个锐角的等量关系的探究,让学生经历证明勾股定理的思维过程,积累通过几何图形发现数学结论的活动经验,培养学生几何直观素养,从一个角到两个角,让学生感悟数学问题产生、开展的方法,开展学生发现、提出问题的能力, 2.3推导证明,公式推广 问题3如何证明对任意角α,β∈R,cos〔α-β〕=cosαcosβ+sinαsinβ? 教师:我们用直角三角形的三边关系定义了锐角三角形函数,探究活动用直角三角形拼接几何图形证明了两角〔锐角〕差的余弦公式,要将其推广至任意角,说说你的想法? 学生:可以考虑用单位圆模型来证明, 教师:如图6.分别画出角α,β的终边,写出终边与单位圆交点A,B的坐标,那么,角α-β如何在图中表示?〔根据学生的答复,出现了两种思路〕 设计意图按照初、高中學习三角函数定义的顺序,先用直角三角形拼接几何图形进行公式的探究与发现,再用单位圆模型进行公式的推广与证明,从具体到抽象、特殊到一般,符合学生的认知规律,对于两种证明方法,思路一代数多于几何,紧扣学生学习的最近开展区,联系向量、诱导公式等知识,开展思维的严谨性:思路二几何多于代数,注重对几何问题的图形分析,探索解决问题的思路两个证明思路注重学生的数学思维活动,从数学直观向理性思维转变,培养学生的逻辑推理素养。 设计意图例1、例2、例3三个例题的设置,从具体角到字母角,再到具体角与字母角的混合,帮助学生理解运算对象的变化,重在稳固根本知识,变1、变2分别将例2、例3的单个角换成复杂角,重在运算思路的探寻,提升根本技能,强化换元等根本思想,例题和变式形成有机整体,培养学生数学运算素养。 2.5作业布置,拓展探究 〔1〕将课堂探究图形中角α的余角记为α,请探究有关α与β的等式。 〔2〕假设将两对斜边长为1的直角三角形拼成如图9所示的矩形,请探究图9中空白局部菱形面积的含义。 〔3〕〔选做〕你还能用这些直角三角形拼出其它常见平面图形,并根据其几何关系探究代数关系吗? 设计意图探究〔1〕是课堂活动的延伸,探究结果是两角〔锐角〕和的正弦公式;探究〔2〕给出了第三种矩形的拼接方式,根据标注角的不同,探究结果可能是两角〔锐角〕差的正弦公式,也可能是两角〔锐角〕和的余弦公式,通过探究〔1〕〔2〕,启发学生的思维,帮助学生强化根本活动经验,为其它公式的学习做好铺垫,培养直观想象素养,探究〔3〕在探究〔2〕的根底上,具有较大的开放性,旨在培养学生的创新意识。 3教后反思 3.1实践活动重数学直观 关于三角公式的学习,学生往往更关注公式的实用性,忽略对三角公式的理解,因此,本节课的教学设计,从整体教学设计理念出发,将三角知识的学习放置于整个初、高中相关知识的学习中,以学生认知开展规律为依据,围绕几何图形构建实践活动,其中,在创设情境、探究发现和探究作业等教学环节,探究对象的几何图形和代数要素不断变化,强化和丰富了学生的实践活动经验,不难发现,每个几何图形都表达着相应代数表示的一种几何意义,有助于学生加深对公式的理解,积累数学实践活动经验,有助于学生数学直观的培养,开展学生发现数学结论的能力和意识,让学生自然地学习知识。 3.2思维活动重数学推理 不管是证明公式,还是应用公式,都是用已有数学知识解决数学问题的过程,都应帮助学生开展数学思维,因此,对于公式的推广與证明,教学中不急于陕速完成,而是通过精心设置问题,引导学生积极思考,遵循最近开展区理论,探寻较为自然的证明思路;对于公式的应用,教学中以题组、变式等方式,题目设置由简至繁,将解题经验逐步归一,构建科学思维体系,积累数学思维活动经验,就要在教学活动中,引导学生将调动根底知识、施展根本技能、应用根本思想有机融合,积累解决数学问题的经验,完善认知结构,开展自动自觉的思维意识。 总之,教学中既要关注实践活动,也要关注思维活动,它们是根本活动的两个侧面,与其它“三基〞紧密联系,教学过程中,注重帮助学生积累根本活动经验,就能推动学生思考数学问题,开展数学核心素养。

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