2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版14.docx

1994年全国高中数学联赛试题 第一试 一、选择题(每题6分，共36分) 1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是 (A) a，b同时为0，且c>0 (B) =c (C) <c (D) >c 2、给出以下两个命题：⑴ 设a，b，c都是复数，如果a2+b2>c2，那么a2+b2－c2>0；⑵设a，b，c都是复数，如果a2+b2－c2>0，那么a2+b2>c2．那么下述说法正确的选项是 (A)命题⑴正确，命题⑵也正确 (B)命题⑴正确，命题⑵错误 (C)命题⑴错误，命题⑵也错误 (D)命题⑴错误，命题⑵正确 3、数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，那么满足不等式|Sn－n－6|<的最小整数n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 4、0<b<1，0<a<，那么以下三数：x=(sina)，y=(cosa)，z=(sina) (A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z 5、在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)( π，π) (B)( π，π) (C)(0，) (D)( π，π) 6、在平面直角坐标系中，方程+=1 (a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是 (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形 二、填空题(每题9分，共54分) 1．有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(-－1，1)和(2，2)，假设直线l：x+my+m=0与PQ的延长线相交，那么m的取值范围是 ． 2．x，y∈[－，]，a∈R且那么cos(x+2y) = ． 3．点集A={(x，y)|(x－3)2+(y－4)2≤()2}，B={(x，y)|(x－4)2+(y－5)2>()2}，那么点集A∩B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 ． 4．设0<θ<π，，那么sin(1+cosθ)的最大值是 ． 5．一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，那么sinα= ． 6．95个数a1，a2，a3，…，a95， 每个都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是 ． 第二试 一、(此题总分值25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是复数，且z－4z2=16+20i，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=2,求|m|的最大值和最小值. 二、(此题总分值25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。 三、(此题总分值35分) 如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60°,∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E． 证明:(1) IO=AE； (2) 2R<IO+IA+IC<(1+)R． 四、 (此题总分值35分) 给定平面上的点集P={P1，P2，…，P1994}, P中任三点均不共线,将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m(G)． (1)求m(G)的最小值m0． (2)设Gx是使m(Gx)=m0的一个图案，假设Gx中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,,使Gx染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形． 1994年全国高中数学联赛解答 第一试 一、选择题(每题6分，共36分) 1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是 (A) a，b同时为0，且c>0 (B) =c (C) <c (D) >c 解：asinx+bcosx+c=sin(x+φ)+c∈[－+c，+c]．应选C． 2、给出以下两个命题：(1)设a，b，c都是复数，如果a2+b2>c2，那么a2+b2－c2>0．(2)设a，b，c都是复数，如果a2+b2－c2>0，那么a2+b2>c2．那么下述说法正确的选项是 (A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错误 (C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)正确 解：⑴正确，⑵错误；理由：⑴a2+b2>c2，成立时，a2+b2与c2都是实数，故此时a2+b2－c2>0成立； ⑵ 当a2+b2－c2>0成立时a2+b2－c2是实数，但不能保证a2+b2与c2都是实数，故a2+b2>c2不一定成立．应选B． 3、数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，那么满足不等式|Sn－n－6|<的最小整数n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解：(an+1－1)=－(an－1)，即{ an－1}是以－为公比的等比数列， ∴ an=8(－)n－1+1．∴ Sn=8·+n=6+n－6(－)n，Þ6·<，Þn≥7．选C． 4、0<b<1，0<a<，那么以下三数：x=(sina)，y=(cosa)，z=(sina)的大小关系是 (A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z 解：0<sina<cosa<1．logbsina>logbcosa>0． ∴ (sina)< (sina)< (cosa)即x<z<y．选A． 5、在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)( π，π) (B)( π，π) (C)(0，) (D)( π，π) 解：设相邻两侧面所成的二面角为θ，易得θ大于正n边形的一个内角π，当棱锥的高趋于0时，θ趋于π，应选A． 6、在平面直角坐标系中，方程+=1 (a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是 (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形 解：x+y≥0，x－y≥0时，(一、四象限角平分线之间)：(a+b)x+(b－a)y=2ab； x+y≥0，x－y<0时，(一、二象限角平分线之间)：(b－a)x+(a+b)y=2ab； x+y<0，x－y≥0时，(三、四象限角平分线之间)：(a－b)x－(a+b)y=2ab； x+y<0，x－y<0时，(二、三象限角平分线之间)：－(a+b)x+(a－b)y=2ab． 四条直线在a≠b时围成一个菱形(非正方形)．选D． 二、填空题(每题9分，共54分) 1．有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(-－1，1)和(2，2)，假设直线l：x+my+m=0与PQ的延长线相交，那么m的取值范围是 ． 解：即x+my+m=0与y=(x+1)+1的交点的横坐标>2． ∴ x+m(x+)+m=0，(3+m)x=－7m．x=－>2．Þ－3<m<－． 2．x，y∈[－，]，a∈R且那么cos(x+2y) = ． 解：2a=x3+sinx=(－2y)3－sin(－2y)， 令f(t)=t3+sint，t∈[－，]，f ¢(t)=3t2+cost>0，即f(t)在[－，]上单调增．∴ x=－2y． ∴ cos(x+2y)=1． 3．点集A={(x，y)|(x－3)2+(y－4)2≤()2}，B={(x，y)|(x－4)2+(y－5)2>()2}，那么点集A∩B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 ． 解：如图可知，共有7个点，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7点． 4．设0<θ<π，，那么sin(1+cosθ)的最大值是 ． 解：令y= sin(1+cosθ) >0， 那么y2=4 sin2cos4=2·2sin2cos2cos2≤2()3． ∴ y≤．当tan=时等号成立． 5．一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，那么sinα= ． 解：12条棱只有三个方向，故只要取如图中AA¢与平面AB¢D¢所成角即可．设AA¢=1，那么A¢C=，A¢C⊥平面AB¢D¢，A¢C被平面AB¢D¢、BDC¢三等分．于是sinα=． 6．95个数a1，a2，a3，…，a95， 每个都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是 ． 解：设有m个+1，(95－m)个－1．那么a1+a2+…+a95=m－(95－m)=2m－95 ∴ 2(a1a2+a1a3+…+a94a95)=(a1+a2+…+a95)2－(a12+a22+…+a952)=(2m－95)2－95>0． 取2m－95=±11．得a1a2+a1a3+…+a94a95=13．为所求最小正值． . 第二试 一、(此题总分值25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是复数，且z－4z2=16+20i，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=2,求|m|的最大值和最小值. 解：设m=a+bi(a，b∈R)．那么△=z12－4z2－4m=16+20i－4a－4bi=4[(4－a)+(5－b)i]．设△的平方根为u+vi．(u，v∈R) 即(u+vi)2=4[(4－a)+(5－b)i]． |α－β|=2，Û|α－β|2=28，Û|(4－a)+(5－b)i|=7，Û(a－4)2+(b－5)2=72， 即表示复数m的点在圆(a－4)2+(b－5)2=72上，该点与原点距离的最大值为7+，最小值为7－． 二、(此题总分值25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。 解：由105=3×5×7；故不超过105而与105互质的正整数有105×(1－)(1－)(1－)=48个。1000=48×20+48－8， 105×20=2100.而在不超过105的与105互质的数中第40个数是86． ∴ 所求数为2186。 三、(此题总分值35分) 如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60°,∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E． 证明:(1) IO=AE； (2) 2R<IO+IA+IC<(1+)R． 证明：∵∠B=60°，∴∠AOC=∠AIC=120°． ∴A，O，I，C四点共圆．圆心为弧AC的中点F，半径为R． ∴O为⊙F的弧AC中点，设OF延长线交⊙F于H，AI延长线交弧BC于D． 由∠EAD=90°（内外角平分线