2023年高中数学例说二分法思想的应用学法指导.docx

例说“二分法〞思想的应用 “二分法〞是高中数学必修内容之一，是现代信息技术与函数、方程知识的有机整合，是求方程近似解的常用方法。利用“二分法〞可以帮助我们轻松、快捷解决一些相关的问题。 一、利用“二分法〞思想巧证不等式 例1. 三个正数a、b、c，满足，求证。 解析：从所要证的目标的结构上看，可把、看作一元二次方程的两个根，同时构造一个区间。 设 利用“二分法〞思想，要证目标，只需证a在区间内即可。 如图1所示，由于二次函数的图象开口方向向上，只需证 因 所以a在区间内，即 图1 二、利用“二分法〞思想巧证一元二次方程根的分布 例2. 函数，，，求证： 〔1〕且； 〔2〕方程在〔0，1〕内有两个实根 证明：〔1〕利用及，容易证明〔略〕。 〔2〕一般地，要证方程在〔0，1〕内有两个实根，只需证明： ①△ ②对称轴落在区间〔0，1〕内 ③区间〔0，1〕端点f(0)，f(1)的符号。 而采用“二分法〞，其解法简洁明快，只需证明： ①区间〔0，1〕两个端点f(0)，f(1)的符号都为正〔题目条件已给定〕 ②在区间〔0，1〕内寻找一个二分点，使这个二分点所对应的函数值小于0，它保证抛物线与x轴有两个不同的交点〔因a>0抛物线开口方向向上〕。 如图2所示，由①②可知方程在〔0，1〕内必有两个不同实根。 图2 在区间〔0，1〕内选取二等分点，因 所以结论得证。 假设不成立可看是否为负 假设还不成立，再看是否为负。 总之，在区间〔0，1〕内存在一个分点，使对应函数值为负即可。 例3. 函数，，求证方程至少有一个根在〔0，1内。 证明：用“二分法〞来证明。首先在区间〔0，1〕内寻找一个分点，使这个分点所对应的函数值小于0。在区间〔0，1〕内选二分点， 其次证明区间〔0，1〕两个端点函数值，至少有一个为正 因为 所以中至少有一个为正，由函数的图象可知方程至少有一个根在〔0，1〕内。 注意：证方程在区间〔m，n〕内有两个不同的解，只需证，的符号相同，以及在区间〔m，n〕找一个二分点t所对应函数值的符号〔它与f(m)，f(n)的符号相反〕。要证方程在区间〔m，n〕内至少有一个解，只需证f(m)，f(n)中至少有一个的符号与区间〔m，n〕内的一个二分点t所对应函数值f(t)的符号相反。 三、利用“二分法〞思想巧求最值 例4. 函数的最小值为〔 〕 A. 190 B. 171 C. 90 D. 45 解析：因表示数轴上的动点x到点n之间的距离。 当最小时，x为区间［1，19］内的任意一个分点； 当最小时，x为区间［2，18］内的任意一个分点； 当最小时，x为区间［3，17］内的任意一个分点。 依次类推， 当最小时，x为区间［9，11］内的任意一个分点； 当最小时， 利用“二分法〞思想，当x是区间［1，19］，［2，18］，［3，17］，……，［9，11］共同二等分点，即x=10时，f(x)取得最小值，所以 应选C。