2023年导数与不等式联姻的解决策略.doc

导数与不等式联姻的解决策略导数与不等式联姻的解决策略 韩华【摘要】利用导数来解决不等式问题，越来越多的被作为考查的重点出现在近几年的高考题中，本文就这点结合教学过程中的实际来简单探讨一下。【关键词】高中数学 导数 不等式 不等式是高中数学中的基本问题，它也是高考必考查的一类问题，通常是不等式的解法、含有参数的不等式、不等式的證明等。它可以和函数、数列等知识进行综合考查，考查函数思想、分类讨论思想、可以很好的考查考生的综合分析和解决问题的能力。本文就高考中和平时练习中出现的一些题型，兹举几例进行说明。一、利用导数来证明不等式问题（一）利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0 时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式：1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。例 1：x0 时，求证；x-ln（1+x）0），则 f（x）=x0，f（x）0 时，f（x）2、把不等式变形后再构造函数，然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。例 2：已知：a，bR，bae，求证：abb a，（e 为自然对数的底）证明：要证 abb a 只需证 lnablnba 即证：blna-alnb0 设 f（x）=xlna-alnx（xae）；则 f（x）=lna-，ae，xa lna1，0，因而 f（x）在（e，+）上递增 ba，f（b）f（a）；故 blna-alnbalna-alna=0；即 blnaalnb 所以 abb a 成立。注意：此题若以 a 为自变量构造函数 f（x）=blnx-xlnb（ex 则，f（x）0 时 时，故 f（x）在区间（e，b）上的增减性要由 的大小而定，当然由题可以推测，故 f（x）在区间（e，b）上递减，但要证明 则需另费周折，因此，本题还是选择以 a 为自变量来构造函数好，由本例可知用函数单调性证明不等式时，如何选择自变量来构造函数是比较重要的。（二）利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。导数的另一个作用是求函数的最值。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。利用导数求出函数的最大（小）值，再证明不等式：例 3：求证：nN*，n3 时，2n 2n+1 证明：要证原式，即需证：2n-2n-10，n3 时成立 设 f（x）=2x-2x-1（x3），则 f（x）=2xln2-2（x3），x3，f（x）23ln3-20 f（x）在3，+上是增函数，f（x）的最小值为 f（3）=23-23-1=10 所以，nN*，n3 时，f（n）f（3）0，即 n3 时，2n-2n-10 成立，二、利用导数解决不等式恒成立问题 不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为 mf（x）（或 m 例 4：已知函数，对 f（x）定义域内任意的 x 的值，f（x）27 恒成立，求 a的取值范围。解：函数 f（x）的定义域为（0，+），由 f（x）27 对一切 x（0，+）恒成立 知 对一切 x（0，+）恒成立，即 对 x（0，+）恒成立 设 则，由 h（x）=0 解 h（x）0 时，解得 0 x0 时 x 所以 h（x）在（0，）上递增，在（，+）上递减，故 h（x）的最大值为，所以 总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决，这是导数的一个新的应用，也是转化与化归思想在高中数学中的重要体现。【参考文献】1郭建理；运用导数解决不等式问题的几点思考J；中学数学，2012（1）2陈万斌；用导数法解决含参数不等式恒成立问题J；中学生理科应试，2013（3）3罗春才；浅谈利用导数处理不等式有关的问题J；魅力中国，2009（5）4陈建国；浅谈导数的应用J；经营管理者，2015（22）/x/x