2023学年新教材高中数学课后作业56三角函数的应用新人教A版必修第一册.doc

课后作业(五十六) 复习巩固 一、选择题 1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　) A. B．50 C. D．100 [解析]　T＝＝. [答案]　A 2．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于(　　) A. B. C. D. [解析]　T＝＝1，∴2π＝，∴l＝，故选D. [答案]　D 3．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示： x 1 2 3 y 10000 9500 ？ 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　) A．10000元 B．9500元 C．9000元 D．8500元 [解析]　因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin＋9500，当x＝3时，y＝9000. [答案]　C 4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*) B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*) C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*) D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*) [解析]　令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝＝2可排除C；或由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝. ∴f(x)＝2sin＋7. ∵当x＝3时，y＝9， ∴2sin＋7＝9， 即sin＝1. ∵|φ|<，∴φ＝－. ∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)． [答案]　A 5．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　) A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为－5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零 [解析]　该质点的振动周期为T＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A是错误的；该质点的振幅为5 cm，故B是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，所以C是错误的．故选D. [答案]　D 二、填空题 6．如图某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________m. [解析]　由题图可知－3＋k＝2，k＝5， y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8. [答案]　8 7．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒． [解析]　过O作水平线的垂线，垂足为Q，由已知可得：OQ＝3，OP＝6，则cos∠POQ＝，即∠POQ＝60°，则水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即个周期，又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，故用时为15×＝5秒． [答案]　5 8．如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24小时内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________，x∈[0,24]． [解析]　将其看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知，A＝6，T＝12，∴ω＝＝.将(6,0)看成函数图象的第一个特殊点，则×6＋φ＝0，∴φ＝－π.∴函数关系式为y＝6sin＝－6sinx. [答案]　y＝－6sinx 三、解答题 9．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b. (1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请根据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ [解]　(1)由表中数据，知周期T＝12.∴ω＝＝＝. 由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5， 由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0， ∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为，∴y＝cost＋1. (2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放， ∴cost＋1>1，∴cost>0. ∴2kπ－<t<2kπ＋. 即12k－3<t<12k＋3，① ∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2， 得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24. ∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9∶00至下午3∶00. 综合运用 10．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 [解析]　由y＝－sin的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－＝， 即t≥·＝·＝7.故选C. [答案]　C 11．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　) A．[0,1] B．[1,7] C．[7,12] D．[0,1]和[7,12] [解析]　由已知可得该函数具有周期性，其周期T＝12，不妨设该函数为y＝asin(ωx＋φ)，(A>0，ω>0)，∴ω＝＝. 又∵当t＝0时，A，∴y＝sin，t∈[0,12]．可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]． [答案]　D 12.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是________． [解析]　当t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故单摆频率为. [答案]　， 13．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h. (1)求h与θ之间的函数关系式； (2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB；求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？ [解]　(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－. 故B点坐标为. ∴h＝5.6＋4.8sin，θ∈[0，＋∞)． (2)点A在圆上转动的角速度是， 故t秒转过的弧度数为t， ∴h＝5.6＋4.8sin， t∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h＝10.4 m. 由sin＝1. 得t－＝，∴t＝30. ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒． 7