2023学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用课时作业新人教A版必修第二册.doc

6．4　平面向量的应用 一、选择题 1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于(　　) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2) 解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)． 答案：D 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：由题意得，b2＝ac＝2a2， 即b＝a，∴cos C＝＝＝－. 答案：B 3．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　) A．10 m/s B．2 m/s C．4 m/s D．12 m/s 解析：由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如右图． ∴小船在静水中的速度大小 |v|＝＝＝2 (m/s)． 答案：B 4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为＝－＝－， 所以2＝2＝2－·＋2， 即2＝1，所以||＝2，即AC＝2. 答案：B 二、填空题 5．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F做的功为________焦耳． 解析：设小车位移为s，则|s|＝10米， WF＝F·s＝|F||s|·cos 60°＝10×10×＝50(焦耳)． 答案：50 6．若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________． 解析：由＝3e，＝5e，得∥， ≠，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC. 又||＝||，得AD＝BC， 所以四边形ABCD为等腰梯形． 答案：等腰梯形 7．某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________ km. 解析：如题图，由题意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，∴BS＝＝3(km)． 答案：3 三、解答题 8. 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 证明：方法一　设正方形ABCD的边长为1， AE＝a(0<a<1)， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a， 所以·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0. 所以⊥，即DP⊥EF. 方法二　设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系， 设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)， 所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)， 由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0， 所以⊥，即DP⊥EF. 9．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50 N，F拉着一个重80 N的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m，问F及摩擦力f所做的功分别为多少？ 解析：设木块的位移为s，则F·s＝|F|·|s|cos 30°＝50×20×＝500(J)， F在竖直方向上的分力大小为|F|sin 30°＝50×＝25(N)， ∴摩擦力f的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， ∴f·s＝|f|·|s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)． ∴F，f所做的功分别是500 J，－22 J. [尖子生题库] 10．已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)(x∈R)． (1)求f(x)的周期和单调递减区间； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，·＝3，求边长b和c的值(b>c)． 解析：(1)由题意知，f(x)＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos， ∴f(x)的最小正周期T＝π， ∵y＝cos x在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减， ∴令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π， 得kπ－≤x≤kπ＋， ∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z. (2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1， ∴cos＝－1， 又<2A＋<，∴2A＋＝π， ∴A＝. ∵·＝3，即bc＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc,7＝(b＋c)2－18， b＋c＝5， 又b>c，∴b＝3，c＝2. - 5 -