2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案函数的周期性高中数学.docx

2．7 函数的周期性 ——函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中“突然〞出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题 一.明确复习目标 1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期； 2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。 二、建构知识网络 1.函数的周期性定义： 假设T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，那么f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的 2.假设T是周期，那么k·T〔k≠0,k∈Z〕也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C； 3.假设函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),那么2a为函数f(x)的周期。 〔假设f(x)满足f(a+x)=f(a－x)那么f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别) 4.假设函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，〔a<b〕，那么2〔b-a〕是f〔x〕的一个周期 5.假设函数f(x)图象有两个对称中心〔a，0〕，〔b，0〕〔a<b〕，那么2〔b-a〕是f〔x〕的一个周期。(证一证) 6.假设函数f〔x〕有一条对称轴x=a和一个对称中心〔b，0〕〔a<b〕,那么4〔b-a〕是f〔x〕的周期。 举例:y=sinx,等. 三.双基题目练练手 1.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(1)=0，那么方程f(x)=0在区间〔0，6〕内解的个数的最小值是 〔 〕 A．5 B．4 C．3 D．2 2.假设函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时f(x)=x+1，那么f(π)的值为 〔 〕 A．π-5 B.5-π C.4-π D. π-4 3.是偶函数，且为奇函数，那么f(1992)= 4.设存在常数p>0,使，那么的一个周期是 ，f(px)的一个正周期是 ； 5.数列中 简答精讲：1、B；2、A；3、993；因〔-1，0〕是中心，x=0是对称轴，那么周期是4；4、，；5、；由，周期为6。 四.经典例题做一做 【例1】f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。 解法1：〔从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为解析式的区间上。〕 ∵ x∈(1,2), 那么-x∈(-2,-1), ∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2,是偶函数 ∴ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. x∈(1,2). 解法2〔从图象入手也可解决，且较直观〕f(x)=f(x+2) 如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函数 ∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1. 又周期为2， x∈(1,2)时x-2∈〔-1，0〕 ∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x. 提炼方法：1.解题表达了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向的(0,1)上转化; 2.用好数形结合,对解题很有帮助. 【例2】f(x)的定义域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),假设f(0)=2023,求 f(2023)的值。 解： 周期为8， 法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。 方法提炼： 1.求周期只需要弄出一个常数; 2.注意既得关系式的连续使用. 【例3】假设函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且. ①求的周期； ②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1轴对称, (k∈Z ); ③讨论f(x)在(1,2)上的单调性； 解: ①由f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4. ②设P(x,y)是图象上任意一点,那么y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y). ∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称. 又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称. ③设1<x1<x2<2,那么-2<-x2<-x1<-1, 0<2-x2<2-x1<1. ∵f(x)在(-1,0)上递增, ∴f(2-x1)<f(2-x2)……(x) 又f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2). (x)为f(x2)<f(x1),f(x)在(1,2)上是减函数. 提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。 【研究.欣赏】函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5. ① 证明：；②求的解析式； ③求在上的解析式. 解：∵是以为周期的周期函数，且在[-1,1]上是奇函数，∴，∴. ②当时，由题意可设， 由得，∴， ∴. ③∵是奇函数，∴， 又知在上是一次函数，∴可设，而， ∴，∴当时，， 从而时，，故时，. ∴当时，有，∴. 当时，， ∴ ∴. 五．提炼总结以为师 1.函数的周期性及有关概念; 2.用周期的定义求函数的周期; 3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系; 同步练习 2．7 函数的周期性 【选择题】 1.f〔x〕是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，那么f〔－〕的值为 A.0 B. C.T D.－ 2.〔2023天津〕定义在R上的函数f〔x〕既是偶函数又是周期函数.假设f〔x〕的最小正周期是π，且当x∈［0，］时，f〔x〕=sinx，那么f〔〕的值为 A.－ B. C.－ D. 【填空题】 3.设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间[2，3]上，=,那么= 4.函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)＝f(4-x)，对一切实数x成立，写出f(x)的一个最小正周 5.对任意x∈R，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,那么f(69)= 6.设f(x)定义在R上的偶函数，且，又当x∈(0，3]时，f(x)=2x，那么f(2023)= 。 答案提示：1、A；由f〔〕=f〔－+T〕=f〔－〕=－f〔〕，知f〔〕=0.〔或取特殊函数f〔x〕=sinx〕 2、D； f〔〕=f〔－2π〕=f〔－〕=f〔〕=sin=. 3、; 4、8； 5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),∴f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3) ∴f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)= -6 6、 ，周期T=6， F(2023)=f(3)=6 【解答题】 7.设函数f(x)的最小正周期为2023，并且f(1001+x)=f(1001－x)对一切x∈R均成立，试讨论f(x)的奇偶性. 解: ∵周期是2023, ∴ f(2023+x)=f(x), 又由f(1001+x)=f(1001－x)得f(2023-x)=f(x) ∴对任意的x都有f(x)=f(2023-x)=f(-x),f(x)是偶函数. 8.设f(x)为定义在实数集上周期为2的函数，且为偶函数，x∈[2,3]时f(x)=x，求x∈[-2,0]时f(x)的解析式。 分析：由T=2可得x∈[-2,-1]和x∈[0,1]时的解析式；再由奇偶性可得[-1，0]上的解析式。 解：因为函数f(x)是T=2的周期函数，所以f(x+2)=f(x). 又由于f(x)为偶函数，故 所以解析式为 9.设f(x)是定义在〔-∞，+∞〕上的函数，对一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，当-1<x≤1时，f(x)=2x-1，求当1<x≤3时，函数f(x)的解析式。 思路分析：∵ f(x)+f(x+2)=0 ∴ f(x)=-f(x+2) ∵ 该式对一切x∈R成立， ∴ 以x-2代x得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x) 当1<x≤3时，-1<x-2≤1，∴ f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5 ∴ f(x)=-f(x-2)=-2x+5，∴ f(x)=-2x+5〔1<x≤3〕 评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还表达了整体思想。 10.〔2023广东〕设函数在上满足， f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0。 〔Ⅰ〕试判断函数y=f(x)的奇偶性； 〔Ⅱ〕试求方程f(x)=0在闭区间［-2023，2023］上的根的个数，并证明你的结论． 解：由得即 由易得，所以，而，从而且 故函数是非奇非偶函数; (II)由 ,从而知函数的周期为 当时，，由，又，那么 ∴当时，只有 ∴方程=0在一个周期内只有两个解 而函数在闭区间［-2023，2023］共含有401个周期，所以方程=0在闭区间［-2023，2023］共含有802个解 【探索题】对于k∈Z，用Ik表示区间(2k-1，2k+1］。x∈Ik时，f(x)＝ (x-2k)2， (1)当k∈Nx时,求集合Mk＝｛a｜使方程f(x)＝ax在Ik上有两个不相等的实根的a的值｝  (2)并讨论f(x)的周期性。 解：y＝f(x)图像就是将y＝x2(x∈〔-1，1］〕向右平移2k个单位所得，其中k∈N 设y1＝f(x),y2＝ax，由集合Mk可知，假设a∈M，那么函数y1＝f(x)与y2＝ax图像有 两个交点，即当x＝2k+1时，0＜y2≤1 ∴0＜a≤ ∴Mk＝｛a｜0＜a≤，k∈N｝，即Mk＝(0，］ 对任意 ， 所以f(x)是2为周期的周期函数。 思路点拔：化简集合，弄清图像变换规律，数形结合求解；周期性的的讨论注要是看你运用定义的意识和能力