2023学年新教材高中数学课后作业49两角和与差的正弦余弦公式新人教A版必修第一册.doc

课后作业(四十九) 复习巩固 一、选择题 1．在△ABC中，A＝，cosB＝，则sinC等于(　　) A. B．－ C. D．－ [解析]　∵cosB＝，∴B为锐角 ∴sinB＝＝. 又∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sincosB＋cossinB ＝×＋×＝＝ [答案]　A 2．计算cos(80°＋2α)cos(65°＋2α)＋sin(80°＋2α)sin(65°＋2α)的值为(　　) A. B. C. D. [解析]　原式＝cos[(80°＋2α)－(65°＋2α)] ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝. [答案]　C 3.sin15°－cos15°的值为(　　) A. B．－ C. D．－ [解析]　原式＝sin30°·sin15°－cos30°·cos15° ＝－(cos30°·cos15°－sin30°·sin15°) ＝－cos(30°＋15°)＝－cos45°＝－. [答案]　B 4．已知sinα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则sinβ等于(　　) A．－ B. C．－ D. [解析]　因为sinα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，所以cosα＝，sin(α＋β)＝. sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝，故选D. [答案]　D 5．已知cos＋sinα＝，则sin的值是(　　) A．－ B. C．－ D. [解析]　因为cos＋sinα＝， 所以cosα＋sinα＝， ·＝， 所以sin＝. 所以sin＝－sin＝－，故选C. [答案]　C 二、填空题 6．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式的值是________． [解析]　＝coscos－sinsin＝cos＝cos＝0. [答案]　0 7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝_____. [解析]　由 得 解得 所以tanα·tanβ＝＝. [答案]　 8．A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，sin＝，则sin＝________. [解析]　因为A，B均为锐角， cos(A＋B)＝－，sin＝， 所以0<A＋B<π， 可得sin(A＋B)＝＝， cos＝－ ＝－，可得 sin＝sin ＝×－×＝. [答案]　 三、解答题 9．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，求sin的值． [解]　∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα ＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα ＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sinβ＝， ∴sinβ＝－，又β是第三象限角， ∴cosβ＝－＝－. ∴sin＝sinβcos＋cosβsin ＝×＋× ＝－. 10．化简：sin＋2sin－cos. [解]　原式＝sinxcos＋cosxsin＋2sinxcos－2cosxsin－coscosx－sinsinx＝sinx＋cosx＋sinx－cosx＋cosx－sinx ＝sinx＋cosx＝0. 综合运用 11．在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 [解析]　∵在△ABC中，C＝π－(A＋B)，∴2cosBsinA＝sin[π－(A＋B)] ＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB. ∴－sinAcosB＋cosAsinB＝0， 即sin(B－A)＝0，∴A＝B.故选A. [答案]　A 12．若sinx＋cosx＝4－m，则实数m的取值范围是(　　) A．2≤m≤6 B．－6≤m≤6 C．2<m<6 D．2≤m≤4 [解析]　∵sinx＋cosx＝4－m， ∴sinx＋cosx＝， ∴sinsinx＋coscosx＝， ∴cos＝.∵≤1， ∴≤1，∴2≤m≤6. [答案]　A 13.＝________. [解析]　原式＝ ＝ ＝tan45°＝1. [答案]　1 14．已知sinα－cosβ＝，cosα－sinβ＝，则sin(α＋β)＝________. [解析]　由sinα－cosβ＝两边平方得 sin2α－2sinαcosβ＋cos2β＝，① 由cosα－sinβ＝两边平方得 cos2α－2cosαsinβ＋sin2β＝，② ①＋②得：(sin2α＋cos2α)－2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋(cos2β＋sin2β)＝＋. ∴1－2sin(α＋β)＋1＝.∴sin(α＋β)＝. [答案]　 15．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α，β∈. 求：(1)sin(2α－β)的值； (2)β的值． [解]　(1)因为α，β∈， 所以α－β∈， 又sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<. 所以sinα＝＝， cos(α－β)＝＝， sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)] ＝sinαcos(α－β)＋cosαsin(α－β) ＝×＋×＝. (2)cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝×＋×＝， 又因为β∈，所以β＝. 6