2023年江苏省常州市武进区横山桥高级高三数学上学期期中考试试题.docx

横山桥高级中学2023—2023学年度第一学期期中考试高三年级 数学试题（2023.11理科） 考生注意： 1．本试卷共2页，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）两局部。 本试卷总分值160分，考试时间120分钟。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的 指定位置。 3．作答各题时，必须用书写黑色字迹的毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置 作答一律无效。 4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1、假设集合，集合，那么集合___▲___． 2、的值为___▲___． 3、存在实数，使得成立，那么的取值范围是___▲___． 4、向量，，假设与垂直，那么___▲___． 5、△中，三内角、、所对边的长分别为、、，， 不等式的解集为，那么___▲___． 6、函数和的图象的对称中心 完全相同，假设，那么的取值范围是___▲___ ． 7、假设函数，点在曲线上运动，作轴，垂足为， 那么△（为坐标原点）的周长的最小值为___▲___ ． 8、，那么的值为___▲___． 9、△中， a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列， ，△的面积为，那么___▲___． 10、如果函数在区间上是“凸函数〞，那么对于区间内任意的， 有成立. 函数在 区间上是“凸函数〞，那么在△中，的最大值是___▲___． 11、，且关于的函数在上有极值， 那么与的夹角范围为___▲___． 12、设函数，且，表示不超过实数的最大整数， 那么函数的值域是___▲___ ． 13、如图放置的边长为的正三角形沿 的纵坐标与横坐标的函数关系式是，记的最小 正周期为；在其两个相邻零点间的图象与轴 所围区域的面积记为，那么___▲___． 14、如果关于的方程在区间上有且仅有一个解， 那么实数的取值范围为___▲___． 二、解答题：本大题共六小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、（此题总分值14分） 向量，，定义函数. （1）求的最小正周期； （2）假设△的三边长成等比数列，且，求边所对角 以及的大小． 16、（此题总分值14分） 在△中，， ． （1）求； （2）设，当△的面积为时，求的值． 17、（此题总分值14分） 如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形， 使点在上，点在上，设矩形的面积为, P O A B Q M N （1） 按以下要求写出函数的关系式： ① 设，将表示成的函数关系式； ② 设，将表示成的函数关系式； （2） 请你选用（1）中的一个函数关系式，求出的最大值． 18、（此题总分值16分） 函数，()， 集合， （1）求集合； （2）如果，对任意时，恒成立，求实数的范围； （3）如果，当“对任意恒成立〞与“在内必有解〞 同时成立时，求 的最大值． 19、（此题总分值16分） 函数． （1）试求的单调区间； （2）当时，求证：函数的图像存在唯一零点的充要条件是； （3）求证：不等式对于恒成立． 20、（此题总分值16分） 对任意,给定区间,设函数表示实数与的给定区间内 整数之差的绝对值．[来源 （1）当时，求出的解析式；当时， 写出用绝对值符号表示的的解析式； （2）求的值，判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （3）当时，求方程的实根．（要求说明理由） 二、解答题 15、解：(1)f(x)＝p·q＝ (sin x，cos x)·(cos x，cos x)＝sin xcos x＋cos2x………………2分 ＝sin 2x＋·＝sin 2x＋cos 2x＋ ＝sin(2x＋)＋.………………………………………………………………………………4分 ∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.………………………………………………………………6分 (2)∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，………………………………………………………7分 又c2＋ac－a2＝bc. ∴cos A＝＝＝＝.…………………………………………………10分 又∵0<A<π，∴A＝.…………………………………………………………………………12分 f(A)＝sin(2×＋)＋＝sin π＋＝.……………………………………………………14分 16、解: （1）由余弦定理知： ……………………………3分 那么，……………7分 （2） ,即共线. ………………………9分 （2）选择，…………… 12分 ……………………………………… 13分 所以.……………………………………………………………… 14分 18、解：（1）令，那么…………………………1分 即即， ，…3分，所以，所以， 即 ………………………………5分 （2）恒成立也就是恒成立， ，即， ①+②可得 所以的最大值为，此时． ………………………16分 19解：（1）．…………………………………………… 2分 　当时，，在上单调递增；……………………………………3分 　 当时，时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增．…………………………………5分 综上所述，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．…… 6分 （2）充分性：时，由（1）知，在处有极小值也是最小值， 即。而在上单调递减，在上单调递增， 在上由唯一的一个零点．……………………………………………………9分 必要性： 在上有唯一解，且, 由（1）知，在处有极小值也是最小值，,即． ∴.∴．…………………… 16分 20解：（1）当时， 由定义知：与0距离最近， ， 当时， 由定义知：最近的一个整数，故 。…………………………3分 （2）…………………………4分 判断是偶函数…………………………5分 对任何R，函数都存在，且存在Z，满足 Z） 即Z）．…………………………7分 由（Ⅰ）的结论，…………………………9分 即是偶函数． 所以当为减函数， 所以方程没有的实根；……………………14分 ④当 设为减函数， ， 所以方程没有的实根．……………………15分 综上可知，假设有且仅有一个实根，实根为1．…16分