2023学年新教材高中数学课后作业28指数函数的性质及其应用新人教A版必修第一册.doc

课后作业(二十八) 复习巩固 一、选择题 1．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. [解析]　由已知，得0<1－2a<1，解得0<a<，即实数a的取值范围是.故选B. [答案]　B 2．若0.72x－1≤0.7x2－4，则x的取值范围是(　　) A．[－1,3] B．(－∞，－1]∪[3，＋∞) C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) [解析]　∵函数y＝0.7x在R上为减函数， 且0.72x－1≤0.7 x2－4， ∴2x－1≥x2－4，即x2－2x－3≤0. 解得－1≤x≤3，故选A. [答案]　A [解析]　构造指数函数y＝x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减，可得b<c；又y＝x(x∈R)与y＝x(x∈R)之间有如下结论：当x>0时，有x>x，故，∴a>c，故a>c>b. [答案]　A 4．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 [解析]　由题意知f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，－x>0，则f(－x)＝e－x－1＝－f(x)，得f(x)＝－e－x＋1.故选D. [答案]　D 5．已知函数f(x)＝a2－x(a>0且a≠1)，当x>2时，f(x)>1，则f(x)在R上(　　) A．是增函数 B．是减函数 C．当x>2时是增函数，当x<2时是减函数 D．当x>2时是减函数，当x<2时是增函数 [解析]　令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，因为当x>2时，f(x)>1，所以当t<0时，at>1.所以0<a<1，所以f(x)在R上是增函数，故选A. [答案]　A 二、填空题 6．满足方程4x＋2x－2＝0的x值为________． [解析]　设t＝2x(t>0)，则原方程化为t2＋t－2＝0， ∴t＝1或t＝－2. ∵t>0，∴t＝－2舍去． ∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0. [答案]　0 7．函数y＝3x2－2x的值域为________． [解析]　设u＝x2－2x，则y＝3u， u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， 所以y＝3u≥3－1＝， 所以函数y＝3x2－2x的值域是. [答案]　 8．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次． [解析]　经过第一次漂洗，存留量为总量的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的2，经过第三次漂洗，存留量为原来的3，…，经过第x次漂洗，存留量为原来的x，故解析式为y＝x.由题意，x≤，4x≥100,2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次． [答案]　4 三、解答题 9．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)． (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) [解]　(1)1年后该城市人口总数为： y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3； … x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10 ＝100×1.01210≈112.7(万人)． 10．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3. (1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间； (2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值． [解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3， 令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7， 由于g(x)在(－2，＋∞)上递减， y＝x在R上是减函数， ∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)． (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)， 由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1； 因此必有解得a＝1， 故当f(x)有最大值3时，a的值为1. 综合运用 11．函数f(x)＝(a>0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B. C. D. [解析]　由单调性定义，f(x)为减函数应满足：，即≤a<1，故选B. [答案]　B 12．函数y＝32x＋2·3x－1，x∈[1，＋∞)的值域为______________． [解析]　令3x＝t，由x∈[1，＋∞)，得t∈[3，＋∞)． ∴y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2≥(3＋1)2－2＝14. 故所求函数的值域为[14，＋∞)． [答案]　[14，＋∞) 13．要使y＝x－1＋m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是________． [解析]　解法一：函数y＝x图象向右平移1个单位得到函数y＝x－1的图象(如图所示过点(0,2))，当m<0时，再向下平移|m|个单位就可以得到函数y＝x－1＋m的图象．要使y＝x－1＋m的图象不经过第一象限，需要有m≤－2. 解法二：由题意得，因为0<<1，所以函数y＝x－1＋m是减函数，由函数图象不经过第一象限知，当x＝0时，y＝2＋m≤0，解得m≤－2，故m的取值范围是(－∞，－2]． [答案]　(－∞，－2] 15．已知定义域为R的函数f(x)＝a－(a∈R)是奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数f(x)在R上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数f(x)在R上的值域． [解]　(1)若存在实数a使函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，得a＝1. 当a＝1时，f(x)＝1－. ∵f(－x)＝1－＝1－＝1－＝－1＋＝－f(x)， ∴f(x)为R上的奇函数． ∴存在实数a＝1，使函数f(x)为R上的奇函数． (3)f(x)＝1－中，3x＋1∈(1，＋∞)， ∴∈(0,2)． ∴f(x)的值域为(－1,1)． 5