2023年高考数学第二轮复习平面向量教学案.docx

2023年高考第二轮专题复习〔教学案〕：平面向量 考纲指要： 重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。 考点扫描： 1．向量的概念：①向量；②零向量；③单位向量；④平行向量〔共线向量〕；⑤相等向量。 2．向量的运算：〔1〕向量加法；〔2〕向量的减法；〔3〕实数与向量的积。 3．根本定理：〔1〕两个向量共线定理；〔2〕平面向量的根本定理。 4．平面向量的坐标表示。 5．向量的数量积：〔1〕两个非零向量的夹角；〔2〕数量积的概念；〔3〕数量积的几何意义；〔4〕向量数量积的性质；〔5〕两个向量的数量积的坐标运算；〔6〕垂直：如果与的夹角为900那么称与垂直，记作⊥。 6．向量的应用：〔1〕向量在几何中的应用；〔2〕向量在物理中的应用。 考题先知： 例1． 二次函数f〔x〕＝x2－2x＋6，设向量a＝〔sinx，2〕，b＝〔2sinx，〕， c＝〔cos2x，1〕，d＝〔1，2〕．当x∈[0，π]时，不等式f〔a·b〕>f〔c·d〕的解集为___________． 解：a·b＝2sin2x＋1≥1， c·d＝cos2x＋1≥1 ，f〔x〕图象关于x＝1对称， ∴f〔x〕在〔1，＋∞〕内单调递增． 由f〔a·b〕>f〔c·d〕a·b>c·d，即2sin2x＋1>2cos2x＋1， 又∵x∈[0，π] ，∴x∈〔〕．故不等式的解集为〔〕． 例2．求函数的值域. 分析：由于向量沟通了代数与几何的内在联系，因此此题利用向量的有关知识求函数的值域。 解:因为， 所以构造向量,,那么,而, 所以,得, 另一方面:由,得, 所以原函数的值域是. 点评：在向量这局部内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。 类比一：，求的最值。 解：等式可化为，而，所以构造向量，那么，从而最大值为42，最小值为8。 类比二：计算之值。 解：构造单位圆的内接正五边形ABCDE，使，， ，，，那么可证 ,从而原式=0 类比三：实数满足，求证：。 解：构造空间向量,即可。 复习智略： 例3．在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A〔0，－1〕，B〔0, 1〕平面内两点G、M同时满足① , ②= = ③∥ 〔1〕求顶点C的轨迹E的方程 〔2〕设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为〔, 0〕 ，∥ , ∥且·= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值. 解：〔1〕设C ( x , y )， ,由①知, G为 △ABC的重心 ， G(,) 由②知M是△ABC的外心，M在x轴上 由③知M〔，0〕， 由 得 化简整理得：〔x≠0 〕 〔2〕F〔，0 〕恰为的右焦点 设PQ的斜率为k≠0且k≠±，那么直线PQ的方程为y = k ( x －) 由 设P(x1 , y1) ，Q (x2 ,y2 ) 那么x1 + x2 = , x1·x2 = 那么| PQ | = · = · = RN⊥PQ,把k换成得 | RN | = S =| PQ | · | RN |= =) ≥2 ， ≥16≤ S < 2 ， (当 k = ±1时取等号) 又当k不存在或k = 0时S = 2 综上可得 ≤ S ≤ 2 Smax = 2 ， Smin = 检测评估： 1．设为单位向量，〔1〕假设为平面内的某个向量，那么=||·;(2)假设与a0平行，那么=||·；〔3〕假设与平行且||=1，那么=。上述命题中，假命题个数是〔 〕 A．0 B．1 C．2 D．3 2．直线与圆相交于A、B两点，且，那么 =〔 〕 A。 B。 C。 D。 3．设点O(0,0)、A(1,0)、B〔0,1〕，点P是AB上的一个动点，，假设，那么实数的取值范围是〔 〕 (A). (B). (C). (D). 4．双曲线的左右两焦点分别为，是双曲线右支上的一点， 点满足，在上的投影的大小恰为，且它们的夹角为，那么等于 A． B． C． D． 5．向量，当时，求的集合〔 〕A。 B。 C。 D。 6．|a|=，|b|=3，a与b夹角为，求使向量a+b 与a+b的夹角是锐角时，那么的取值范围是 7．设且，那么的最小值等于 8．点O为所在平面内的一定点，其中点A、B、C不共线，动点P满足，其中。那么________-〔填空内心、外心、垂心、重心之一〕。 9．，其中。假设与〔〕的长度相等，那么= 。 10,设平面上的向量满足关系,,又设与的模为1,且互相 垂直,那么与的夹角为 . 11．设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足以下两个条件： ①且＝＋；②且＝． 〔1〕求及的坐标； 〔2〕假设四边形的面积是，求的表达式； 〔3〕对于〔2〕中的，是否存在最小的自然数M，对一切都有＜M成立？假设存在，求M；假设不存在，说明理由． 12. 在平面直角坐标系中，向量 |动点P同时满足以下三个条件： 〔1〕· (3)动点P的轨迹C经过点B〔0，-1〕. 〔Ⅰ〕求曲线C的方程； 〔Ⅱ〕是否存在方向向量为m=(1,k)(k≠0)的直线l，l与曲线C相交于M、N两点，使|60°？假设存在，求出k值，并写出直线l的方程；假设不存在，请说明理由. 点拨与全解： 1．解：向量是既有大小又有方向的量，与||模相同，但方向不一定相同，故〔1〕是假命题；假设与平行，那么与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时=－||，故〔2〕、〔3〕也是假命题。综上所述，答案选D。 2．解：易知，所以。应选B。 3．解：因点，原不等式化为，又知，应选B。 4．解：因为，所以是一对同向向量，且． 又因为在上的投影的大小恰为，所以． 在中，又， 所以，所以，应选A． 5．解：由得，，应选B。 6．解：∵ |a|=，|b|=3 ，a与b夹角为∴ 而〔a+b〕·〔a+b〕= 要使向量a+b 与a+b的夹角是锐角，那么〔a+b〕·〔a+b〕>0 即 从而得 7．解：构造向量，那么由得。 8．由等式得：，可证 ，从而，所以动点P有轨迹一定经过的垂心。 9．解：， ， 所以， ， 因为， 所以， 有， 因为，故， 又因为， 所以。 a b 1 10, 由解得, 由 可得的值. 11．解：〔1〕． ． 〔2〕 ． 〔3〕 ． ∴ ，，．， ，，等等． 即在数列中，是数列的最大项，所以存在最小的自然数，对一切，都有＜M成立． 12.(1)∵| ∴ 由 由〔1〕、〔2〕可知点P到直线x=再由椭圆的第二定义可知，点P的轨迹是椭圆，椭圆C的方程为： 由〔3〕可知b=1，∴a2=b2+c2=1+2=3. ∴椭圆C的方程为:y= 〔2〕设直线l的方程为:y=kx+m， x1+x2=- Δ=36k2m2-12(m2-1)(1+3k2)=12[3k2-m2+1]＞0 ① 线段MN的中点G〔x0,y0〕，　 x0= 线段MN的垂直平分线的方程为：y- ∵|∴线段MN的垂直平分线过B〔0，-1〕点， ∴-1-∴m=② ②代入①，得3k2-(③ ∵|°，∴△BMN为等边三角形， ∴点B到直线MN的距离d= |MN|= = ∴ 解得k2=③②，得m= 直线l的方程为：y=