2023年青海省高考数学二轮复习三角函数新人教版.docx

三角函数 高考试题中的三角函数题相比照拟传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的根底性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题． 2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化． 二、 高考考点分析 2022年各地高考中本局部所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次： 第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数根本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的根本策略。 （1）常值代换：特别是用“1〞的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析〞。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 四、例题分析 例1．，求（1）；（2）的值. 解：（1）； (2) . 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的方法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。 例2．求函数的值域。 解：设，那么原函数可化为 ，因为，所以 当时，，当时，， 所以，函数的值域为。 例3．函数。 （1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合； （2）证明：函数的图像关于直线对称。 解： (1)所以的最小正周期，因为， 所以，当，即时，最大值为； (2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立， 因为， ， 所以成立，从而函数的图像关于直线对称。 例4． 函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）, （1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1 =cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+ =sin(2x+)+ 所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。 所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z} （2）将函数y=sinx依次进行如下变换： （i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像； （ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像； （iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像； （iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。 综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。 说明：此题是2022年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (ωx+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。此题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=+1=+1 化简得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0 ∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤ ∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z} 例5．函数 （Ⅰ）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域. 解： （Ⅰ）由=0即 即对称中心的横坐标为 （Ⅱ）由b2=ac 即的值域为. 综上所述， ， 值域为 . 说明：此题综合运用了三角函数、余弦定理、根本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。 例6．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且， (1)求的值； (2)假设，且a=c，求的面积。 解：(1)由正弦定理及，有， 即，所以， 又因为，，所以，因为，所以，又，所以。 (2)在中，由余弦定理可得，又， 所以有，所以的面积为 。 例7．向量 ，且， (1)求函数的表达式； (2)假设，求的最大值与最小值。 解：(1)，，，又， 所以， 所以，即； (2)由(1)可得，令导数，解得，列表如下： t －1 (－1，1) 1 (1，3) 导数 0 － 0 + 极大值 递减 极小值 递增 而所以。 例8．向量， (1) 求的值； (2) (2)假设的值。 解：(1)因为 所以 又因为，所以， 即； (2) ， 又因为，所以 ， ，所以，所以 例9．平面直角坐标系有点 （1） 求向量和的夹角的余弦用表示的函数； （2） 求的最值. 解：（1）， 即 （2） ， 又 ， ， ， . 说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。