2023年高考平面向量试题汇编.docx

第五章 平面向量 一 平面向量的概念及根本运算 【考点阐述】 向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示． 【考试要求】 （1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法． （3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件． （4）了解平面向量的根本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． 【2023年湖北卷理5文8】．△ABC和点M满足++=0．假设存在实数m使得+=m成立，那么m=B A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】由++=0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，那么==·（+）=（+），所以有+=m，故m=3，选B． 【2023年全国Ⅱ卷理8文10】．△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB．假设=a，=b，| a |=1，| b |=1，那么=B A．a +b B．a +b C．a +b D．a +b 【命题意图】本试题主要考查向量的根本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为CD平分∠ACB，由角平分线定理得=2，所以D为AB的三等分点，且==（―），所以=+=+=a +b． 【2023年陕西卷理11文12】．向量a=（2，―1），b=（―1，m），c=（―1，2），假设（a+b）∥c，那么m= ． 【答案】―1 【解析】∵a+b =（1，m―1），c =（―1，2），∴由（a+b）∥c 得1×2―（―1）×（m―1）=0，所以m=―1． 【2023年高考上海市理科13】．如下列图，直线x=2与双曲线Г：―y2=1的渐近线交于E1，E2两点，记=e1，=e2，任取双曲线上的点P，假设=a e1+b e2（a，b∈R），那么a、b满足的一个等式是 ．4ab=1 【答案】4ab=1 【2023年高考上海卷文科13】．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为（，0），e1=（2，1），e2=（2，―1）分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，假设=a e1+b e2（a，b∈R），那么a、b满足的一个等式是 4ab=1 ． 解析：因为e1=（2，1），e2=（2，―1）是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又c=，所以a=2，b=1，双曲线方程为，=a e1+b e2=（2a+2b，a―b），，化简得4ab=1． 二 平面向量的数量积 【考试要求】 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． 【2023年江西卷文13】．向量a，b满足|b|=2，a与b的夹角为60°，那么b在a上的投影是 ． 【答案】1 【解析】考查向量的投影定义，b在a上的投影等于b的模乘以两向量夹角的余弦值 【湖南卷理4】．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，那么·等于D A．―16 B．―8 C．8 D．16 解析一：因为∠C=90°，所以·=0，·=（+）·=2+·=16． 解析二：在上的投影为||，所以·=||2=16． 【2023年北京卷理6】．a、b为非零向量。“a⊥b〞是“函数f（x）=（xa+b）·（xb―a）为一次函数〞的B A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：f（x）=（xa+b）·（xb―a）=（a·b）x2+（|b|2―|a|2）x― a·b，如a⊥b，那么有a·b=0，如果同时有|a|=| b |，那么函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f（x）为一次函数，那么a·b=0，因此可得a⊥b，故该条件必要。 【2023年北京卷文4】．假设a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，那么函数f（x）=（xa+b）·（xb―a）是A A．一次函数且是奇函数 B．一次函数但不是奇函数 C．二次函数且是偶函数 D．二次函数但不是偶函数 解析：f（x）=（xa+b）·（xb―a）=（a·b）x2+（|b|2―|a|2）x― a·b，由a⊥b，那么a·b=0，f（x）=（|b|2―|a|2）x，故f（x）是一次函数且是奇函数． O A B C 【2023年江西卷理13】．向量a，b满足|a|=1，|b|=2， a与b的夹角为60°，那么|a―b|= ． 【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式， 以及向量三角形法那么、余弦定理等知识，如图 a=，b =，a―b=―=， 由余弦定理得：|a―b|=． 【2023年重庆卷理2】．向量a，b满足a·b=0，|a|=1，|b|=2，那么|2a―b|= B A．0 B． C． 4 D．8 解析：|2a―b|=. 【2023年浙江卷文13】．平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a⊥（a―2b），那么|2a+b|的值是 ． 解析：，由题意可知a·（a―2b）=0，结合|a|=1，|b|=2，解得a·b=，所以|2 a+b |2=4a2+4a·b + b 2=8+2=10，开方可知答案为， 【命题意图】此题主要考察了平面向量的四那么运算及其几何意义，属中档题。 【2023年浙江卷理16】．两平面向量a，b均为非零向量，且a≠b，| b |=1，a与b―a的夹角为120°，那么| a |的取值范围是_______．（0，] 【命题意图】此题主要考察了平面向量的四那么运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题． B C A 60° ф 120° a b―a b 【解析】如下列图，在△ABC中，∠ABC=60°，AC=1，设∠ACB=θ，由正弦定理得： ， | a |=|AB|=sinφ≤，故| a |∈（0，]． 【2023年湖南卷文6】．假设非零向量a，b满足|a|=|b|，（2a+b）·b =0，那么a与b的夹角为C A．30° B． 60° C．120° D． 150° 【解析】（2a+b）·b =2a·b+b·b=0，所以a·b=―|b| 2，cos﹤a，b﹥=―，﹤a，b﹥=120°． 【2023年辽宁卷理8文8】．平面上O，A，B三点不共线，设=a，=b，那么△OAB的面积等于C A． B． C． D． 解析： 【2023年四川卷理5文6】．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2=16，|+|=|―|，那么||=C A．8 B．4 C． 2 D．1 解析：由2＝16，得|BC|＝4 ，|+|=|―|=||＝4，而|+|=2||，故||=2． D A B C 【2023年天津卷文9理（填空）15】．如图，在△ABC中，AD⊥AB，=，||=1，那么·=D A． B． C． D． 【解析】·=||·||cos∠DAC=||cos∠DAC=||sin∠BAC=||sin∠B =||sin∠B=． 【命题意图】此题主要考查平面向量、解三角形等根底知识,考查化归与转化的数学思想,有点难度. 【2023年全国Ⅰ卷理11文11】．圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为D A． B． C． D． 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. P A B O 【解析1】如下列图：设PA=PB=x，∠APO=α，那么∠APB=2α，PO=，， ===，令，那么，即，由x2是实数，所以 ，，解得或.故.此时. 【解析2】法一： 设， 法二：换元：， 或建系：园的方程为，设， 【2023年山东卷理12文12】．定义平面向量之间的一种运算“⊙〞如下，对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=mq―np，下面说法错误的选项是B A．假设a与b共线，那么a⊙b=0 B．a⊙b=b⊙a C．对任意的λ∈R，有（λa）⊙b=λ（a⊙b） D．（a⊙b）2+（a·b）2=|a|2·|b|2 【解析】假设a与b共线，那么有a⊙b=mq―np，故A正确；因为b⊙a =pn―qm，而 a⊙b=mq―np，所以有a⊙b≠b⊙a，应选项B错误，应选B。 【命题意图】此题在平面向量的根底上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的根底知识以及分析问题、解决问题的能力。 【2023年重庆卷文3】．假设向量a=(3，m)，b=(2，―1)， a·b=0，那么实数m的值为D A． B． C． 2 D． 6 【解析】a·b=6―m=0，所以m =6． 【2023年安徽卷理3文3】．设向量a=（1，0），b=（，），那么以下结论中正确的选项是C A．|a|=| b | B．a·b= C．a―b与b垂直 D．a∥b 解析：a―b=（，―），（a―b）·b=0，所以a―b与b垂直． 【2023年福建卷文8】．假设向量a=（x，3）（x∈R），那么“x = 4”是“| a |=5”的A A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由x=4得a=（4，3），所以| a |=5；反之，由| a |=5可得。 【命题意图】此题考查平面向量、常用逻辑用语等根底知识。 【2023年广东卷文5】．假设向量a=（1，1），b=（2，5），c=(3，x)满足条件 (8a－b)·c =30，那么x= A．6 B．5 C．4 D．3 解析：8a－b =（6，3），(8a－b)·c =6×3+3x=30，故x=4． 【2023年全国Ⅰ新课标卷文2】．a，b为平面向量，a=（4，3），2a+b=（3，18），那么a，b夹角的余弦值等于C A． B． C． D． 解析：由得b=（2a+b）―2a=（―5，12），所以． 【2023年高考福建卷理科7】．假设点O和点F（―2，0）分别是双曲线―y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，那么·的取值范围为B A． B． C． D． 【解析】因为F（―2，0）是双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为―y2=1，设点P（x0，y0），那么有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，·取得最小值，故·的取值范围是，选B。 【命题意图】此题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对根底知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。 【2023年高考福建卷文科11】．假设点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，那么·的最大值为C A．2 B．3