2023年佛山高三二模数学试题及答案文科理科12.docx

2023年佛山市普通高中高三教学质量检测（二） 数学试题（文科）参考答案和评分标准 一、选择题 本大题共10小题，每题5分，共50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B C A A C B D 二、填空题 本大题共5小题，考生作答4小题，每题5分，总分值20分． 11． 12． 13． 14． 15． 三、解答题 本大题共6小题，共80分．解容许写出文字说明、演算步骤或推证过程． 16．（此题总分值12分） 解：（Ⅰ）由题中表格给出的信息可知，函数的周期为， 所以. ……………………………………………………………2分 注意到，也即，由，所以………………4分 所以函数的解析式为（或者） ………………………………………5分 （Ⅱ）∵，∴或 ………………………………………6分 当时,在中，由正弦定理得，， ∴， ………………………………………7分 ∵，∴，∴， ………………………………………8分 ∴，………………9分 ∴． …………………………………10分 同理可求得,当时, .………12分 （注：此题中第一问由于取点的不同而导致求周期和方法众多，只要言之有理并能正确求出即给分）. 17．（此题总分值12分） 解：（ I ）依题意，得 ……………………………………………………………1分 由于为函数的一个极值点，那么，得 …………………3分 （Ⅱ）由（I）得 故 令，那么或 …………………………………………………5分 由于 ①当时， 当变化时，与的变化情况如下表： 由上表可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为；………8分 ②当时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R； …………………………………………………9分 ③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为 …………………………………………………11分 综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为； 当时，函数的单调增区间为R； 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为 …………………………………………………12分 18．（此题总分值14分） 证明：（Ⅰ）∵平面，平面， ∴四边形为梯形，且平面平面， ∵，∴， …………………………………………………2分 ∵平面平面 ∴平面，即为四棱锥的高，……………………………………………… 4分 ∵， ∴， ……………………………………………… 6分 作的中点，连接，， ∴为三角形的中位线， ∴，， ……………………………………………… 8分 ∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，∴平面．…………………………………………… 10分 （Ⅱ）∵，为的中点， ∴，又，∴平面， ……………………………………………… 12分 ∵，∴平面， 又平面， ∴平面平面． ……………………………………………… 14分 19．（此题总分值14分） 解：（Ⅰ）依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为构成等差数列，其中，公差为. ……………………………………………… 2分 从而，到第个月，凌霄共还款 ……………………… 4分 令，解之得（元）. …………………… 6分 即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还元. ………………… 7分 （Ⅱ）设凌霄第个月还清，那么应有 ………………… 8分 整理可得，解之得，取. ………………… 10分 即凌霄工作个月就可以还清贷款. 这个月凌霄的还款额为 元………………… 12分 第31个月凌霄的工资为元. 因此，凌霄的剩余工资为，能够满足当月的根本生活需求. ………………… 14分 20．（此题总分值14分） 解：（Ⅰ）∵抛物线的焦点为， ……………………………………………… 1分 ∴双曲线的焦点为、， ……………………………………………… 2分 设在抛物线上，且， 由抛物线的定义得，，∴， ………………………………………………3分 ∴，∴， ……………………………………………… 4分 ∴， ……………………………………………… 5分 又∵点在双曲线上， 由双曲线定义得，，∴， ……………………………………………… 6分 ∴双曲线的方程为：． ……………………………………………… 7分 （Ⅱ）为定值.下面给出说明. ……………………………………………… 8分 设圆的方程为：，双曲线的渐近线方程为：， ∵圆与渐近线相切，∴圆的半径为， ………………… 9分 故圆：， ………………………… 10分 设的方程为，即， 设的方程为，即， ∴点到直线的距离为，点到直线的距离为，……………… 11分 ∴直线被圆截得的弦长， ………………………… 12分 直线被圆截得的弦长， ………………………… 13分 ∴，故为定值． ………………………… 14分 21．（此题总分值14分） 解：（Ⅰ）, ………………………… 1分 ∴点P处的切线斜率, ………………………… 2分 ∴切线方程为:, ………………………… 3分 令得: ,故数列的通项公式为:.…………… 4分 (2) ------① 两边同乘得:------② ①②得: ……………… 6分 ∴ …………………… 8分 其中, ,, 猜测的最大值为.证明如下: …………………… 10分 (i)当为奇数时，； …………………… 11分 (ii)当为偶数时，,设,那么. , ∴. …………………… 13分 故的最大值为,即的最大值为. …………………… 14分