2023年g31031数列与函数的极限2doc高中数学.docx

g3.1031数列与函数的极限（2） 一、知识回忆 1、函数的极限 1） 当x→∞时函数f(x)的极限: ；； 当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x→+∞时,f(x)→a) 当自变量x取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x→-∞时,f(x)→a) 注：自变量x→+∞和x→-∞都是单方向的，而x→∞是双向的，故有以下等价命题 令，分别求 2） 当x→x0时函数f(x)的极限: ； ； 如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的左极限，记作。 如果当x从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的右极限，记作。 注：1与函数f（x）在点x0处是否有定义及是否等于f（x0）都无关。 2。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。 注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限；②时，，③时，的值不唯一。 4）函数极限的运算法那么： 假设，，那么；； ；；。 注：以上规那么对于x→∞的情况仍然成立。 5）两个重要的极限：；和一个法那么：罗必塔法那么： 2、函数的连续性 (1)函数连续性的概念: ①如果函数f(x)在x=x0处及其附近有定义,而且,就说函数f(x)在x=x0处连续。 注：函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件：Ⅰ）函数f(x)在x=x0处及其附近有定义；Ⅱ）函数f(x)在x=x0处有极限；Ⅲ）函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0)。 ②右连续（或左连续）：如果函数f(x)在x=x0处及其右侧（或左侧）有定义，而且（或）。 ③假设函数f(x)在(a,b)内每一点都连续,且在a点右连续，b点左连续，那么称f(x)在闭区间[a,b]上连续。 注：函数f(x)在(a,b)内连续，只要求在(a,b)内每一点都连续即可，对在端点处是否连续不要求。 (2)函数连续性的运算: ①假设f(x)，g(x)都在点x0处连续，那么f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，(g(x)≠0)也在点x0处连续。 ②假设u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,那么复合函数f[u(x)]在点x0处连续。 (3)初等函数的连续性: ①根本初等函数（指数函数，对数函数，三角函数等）在定义域里每一点处都连续。 ②根本初等函数及常数经过有限次四那么运送所得到的函数，都是初等函数，初等函数在其定义域里每一点处的极限都等于该点的函数值。 （3） 图甲表示的是f(x)在点x0处的左、右极限存在但不相等，即不存在 图乙表示的是f(x)在点x0处的左极限存在、右极限不存在，也属于不存在 图丙表示的是存在，但函数f(x)在点x0处没有定义 图丁表示的是存在，但它不等于函数f(x)在点x0处的函数值。 注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。〞 二、根本训练 1、是函数在点xo处存在极限的（　　） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 2、m<0,n>0时，的值是（ ） （A） （B）0 （C）1 （D） 3、（ ） （A）0 （B） （C）－ （D）不存在 4、的值为（ ） （A）1 （B）0 （C）－1 （D）±1 5、f(x)=下面结论正确的选项是（ ） （A） （B）2 ，不存在 （C）0， 不存在 （D）≠ 6.（05江西卷）8． A．－1 B．1 C．－ D． 7.(05辽宁卷)极限存在是函数在点处连续的 A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 8.（1）指出以下函数的不连续点： ①； ②； ③ （2），确定常数a，使存在。 三、例题分析 例1：判断以下函数的极限是否存在： （1） （2） （3） （4）， 例2：设 ，问a，b为何值时，存在。 例3：求以下各极限 (1)()； (2) () (3)； (4) (5) 例4：利用连续函数的图象特征，判断方程：是否存在实数根。 例5：求 例6：为多项式，且，求。 答案：根本训练 1—7、CBBCB CB 例1（1）不存在， （2）不存在， （3）存在， （4）不存在， 例2、当b=2，a为任何实数时，存在。 例3.(1) (2) (3)不存在 (4) （5）时，不存在。 例4解：设，那么在R上连续，又，因此在[－3，0]内必存在点x0使得，所以x0是方程的一个实数根，因此方程有实根。 例5. ， 例6. 。 四、作业 g3.1031数列与函数的极限（2） 1．的值为（ ） A．不存在 B.2 C.0 D.1 2．（ ） A．0 B. C.1 D. 3．假设，那么ab的值是（ ） A．4 B.8 C. 8 D.16 4．以下各式不正确的选项是（ ） A． B． C． D． 5．给出以下命题 （1）假设函数f(x)在x0处无定义，那么必不存在； （2）是否存在与函数f(x)在x0处是否有定义无关； （3）与都存在，那么也存在； （4）假设不存在，那么必定不存在. 正确的命题个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6.（05全国卷Ⅲ） ( A ) A B C D 7. （05湖北卷）假设，那么常数的值为 （ C ） A． B． C． D． 8.（04年广东卷.3）函数在处连续，那么（ ） A. B. C. D. 9.（04年福建卷.理14）设函数在处连续，那么实数的值为 . 10． 11．(m和n为自然数)=________. 12．=_______. 13．假设f(x)=的极限为1，那么x的变化趋向是______. 14．（1） = （2）= 15．讨论函数f(x)=当时的极限与在x=0处的连续性. 16.讨论函数的连续性；适当定义某点的函数值，使在区间(－3,3)内连续。 17.函数 (1) 讨论f(x)在点x=-1,0,1处的连续性；（2）求f(x)的连续区间。