2023年g31060平面与空间直线doc高中数学.docx

第七章 直线、平面、简单几何体 　　考试内容： 　　9（A）．平面及其根本性质．平面图形直观图的画法． 　　平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离． 　　直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理． 　　平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质． 　　多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球． 　　　9（B）．平面及其根本性质．平面图形直观图的画法． 　　平行直线． 　　直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理． 　　两个平面的位置关系． 　　空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积． 　　直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离． 　　直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影． 　　平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质． 　　多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球． 　考试要求 　　9（A）．（1）掌握平面的根本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图．能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形．能够根据图形想像它们的位置关系． 　　（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定量．掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离． 　　（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理．掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念．掌握三垂线定理及其逆定理． 　　（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理．掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念．掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理． 　　（5）会用反证法证明简单的问题． 　　（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念． 　　（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图． 　　（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图． 　　（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的外表积、体积公式． 　　　9（B）．（1）掌握平面的根本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系． 　　（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理． （3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘． 　　（4）了解空间向量的根本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算． 　　（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式． 　　（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念． 　　（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念．对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离．掌握直线和平面垂直的性质定理．掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理 （8）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念． 　　（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图． 　　（10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图． 　　（11）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的外表积、体积公式． g3.1060平面与空间直线 一.知识回忆: (一)平面： 1、平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） 2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面 3、平面的表示： （1）用一个小写的希腊字母、、等表示，如平面、平面； （2）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC (二)三公理三推论: 公理1：假设一条直线上有两个点在一个平面内，那么该直线上所有的点都在这个平面内. A,B,A,B 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 公理3:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (三)空间直线: 1.空间两条直线的位置关系： （1）相交直线——有且仅有一个公共点； （2）平行直线——在同一平面内，没有公共点； （3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。 相交直线和平行直线也称为共面直线． 异面直线的画法常用的有以下三种： 2. 平行直线： 在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 3.等角定理 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等． 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等． 4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：与a是异面直线 二根本训练： 1．、、表示不同的点，、表示不同的直线，、表示不同的平面，以下推理不正确的选项是 （ ） ，直线 ，且不共线与重合 选 2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，那么这个平面图形的面积是 （ ） 选 3．对于空间三条直线，有以下四个条件： ①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行； ③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交． 其中，使三条直线共面的充分条件有 （ ） 1个 2个 3个 4个 选 4．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，那么这五个点最多可以确定 个平面 ． 答案：7个． 三．例题分析： α D C B A E F H G 例1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线． 解：∵AB∥CD， ∴AB，CD确定一个平面β． 又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β， 即E为平面α与β的一个公共点． 同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点． ∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E，F，G，H四点必定共线． 说明：在立体几何的问题中，证明假设干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论． 例2．：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面． 证明 1o假设当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A， α b a d c G F E A a b c d α H K 图1 图2 但AÏd，如图1． ∴直线d和A确定一个平面α． 又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G， 那么A，E，F，G∈α． ∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα． 同理可证bα，cα． ∴a，b，c，d在同一平面α内． 2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2． ∵这四条直线两两相交，那么设相交直线a，b确定一个平面α． 设直线c与a，b分别交于点H，K，那么H，K∈α． 又 H，K∈c，∴c,那么cα． 同理可证dα． ∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内． 说明：证明假设干条线(或假设干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的局部线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．此题最容易无视“三线共点〞这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义． 例3．不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线． 证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α， 那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都 在平面α内，与条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立， ∴AD和BC是异面直线。 证二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由C平面α，B∈平面α，AD平面α，BAD，∴AD和BC是异面直线。 四、作业同步练习g3.1060平面与空间直线 1．以下四个命题： （1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线 （2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 （3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面 （4）假设与是异面直线，与是异面直线，那么与也异面 其中真命题个数为 （ ） 3 2 1 0 2．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，那么直线与所成的角为（ ） 300 450 600 3．AB、CD在平面α内，AB//CD，且AB与CD相距28厘米，EF在平面α外，EF//AB，且EF与AB相距17厘米，EF与平面α相距15厘米，那么EF与CD的距离为（ ） 25厘米 39厘米 25或39厘米 15厘米 4．直线a，如果直线b同时满足条件：①a、b异面②a、b所成的角为定值③a、b 间的距离为定值，那么这样的直线b有（ ） 1条 2条 4条 无数条 5．异面直线a与b所成的角为500，P为空间一点，那么过点P与a、b所成的角都是300的直线有且仅有（ ） 1条 2条 3条 4条 6．在正三棱柱中，假设，那么与所成的角的大小 ． 7．在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为________________． 8．两条异面直线、间的距离是1cm，它们所成的角为600，、上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，那么A、B两点间的距离为____________________． 9．在三棱台中，侧棱⊥底面，且，． （1）求证：，，． （2）求异面直线和的距离． 10． 一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为，与所成角为，且，，，、是垂足，求（1）的长；（2）与所成的角 参考答案 DACDB 9、（1）略证，先证BC⊥平面AA1B1B，即得BC⊥A1B， BC⊥A1A，又∵A1A⊥A1C（），由三垂线定理的逆定理 可知，A1A⊥A1B （2）略解，由（1）知，A1A⊥A1B，A1B⊥BC， ∴A1B就是A1A和BC的公垂线段。但△