2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案线面平行面面平行高中数学.docx

9．2 线面平行、面面平行 一、明确复习目标 1．掌握空间直线和平面、平面和平面的位置关系； 2．掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定和性质，并能运用这些知识进行论证或解题. 3．能灵活进行“线线平行，线面平行，面面平行〞之间的相互转化. 二．建构知识网络 1．直线和平面的位置关系有： 〔1〕直线在平面内； 〔2〕直线和平面相交； 〔3〕直线和平面平行： 定义——． 2．线面平行的判定方法： ①a∩α=ф⇒a∥α(定义法) ②判定定理； ③b⊥a, b⊥α, aËa⇒a∥α； ④a∥b,a⊂a ⇒a∥b ⑤空间向量证线面平行. 3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 4．判定平面平行的方法： 〔1〕根据定义——证明两平面没有公共点； 〔2〕判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； 〔3〕证明两平面同垂直于一条直线. 5．平行平面的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点〞. ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行〞. ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等. ⑹经过平面外一点只有一个平面和平面平行. 三、双基题目练练手 1．〔2023重庆〕对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与 〔 〕 A．平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 2．一条直线同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 〔 〕 A 异面 B 平行 C 相交 D 不能确定 3．(2023广东)给出以下关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题： ①假设,那么l与m不共面； ②假设m、l是异面直线， ； ③假设； ④假设l∩m=点A,l//β, 其中为假命题的是 〔 〕 A．① B．② C．③ D．④ 4．如果,AB和CD是夹在平面α、β之间的两条线段，AB⊥CD，且AB＝2，直线AB与平面α成300角，那么线段CD的取值范围是 〔 〕 A. B. C. D. 5．设D是线段BC上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A〔A与BC分居平面两侧〕作AB、AD、AC分别交平面α于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，那么EG=_____________. 6．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，那么四面体的四个面中与MN平行的是________. ◆答案提示：1-4.CBCD; 5. ; 6. 平面ABC、平面ABD 四、经典例题做一做 【例1】：如图，设a,b是异面直线,AB是a,b的公垂线,过AB的中点O作平面α与a,b分别平行,M,N分别是a,b上的任意两点,MN与α交于点P,求证P是MN的中点. 证明:连接AN,交平面α与点Q,连PQ, ∵b∥α,bÌ平面ABN,平面ABN∩α=OQ, ∴b∥OQ，又O为AB的中点， ∴Q为AN的中点. ∵a∥α，aÌ平面AMN且平面AMN∩α=PQ ∴a∥PQ. ∴P为MN的中点. 【例2】如图，四面体A—BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形. (1)求证：CD∥平面EFGH. (2)求异面直线AB、CD所成的角. (3)假设AB＝a，CD=b， 求截面EFGH面积的最大值. C A B E H F G D 〔1〕证明：∵截面EFGH是一个矩形， ∴EF∥GH， 又GHÌ平面BCD. ∴EF∥面BCD，而EFÌ面ACD， 面ACD∩面BCD=CD. ∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH. 〔2〕解：由〔1〕知CD∥EF，同理AB∥FG，由异面直线所成角的定义知∠EFG即为所求的角.易得∠EFG=90°. 〔3〕答案：ab/4 ◆思悟提炼：灵活进行：“线线平行ó线面平行〞. 【例3】 正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8. 〔1〕求证：直线MN∥平面PBC； 〔2〕求直线MN与平面ABCD所成的角 _ C _ B _ A _ O _ N _ M _ E _ D _ P 证明〔1〕：∵P—ABCD是正四棱锥， ∴ABCD是正方形.连结AN并延长交 BC于点E，连结PE. ∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND. 又∵BN∶ND=PM∶MA， ∴EN∶AN=PM∶MA. ∴MN∥PE.又∵PE在平面PBC内， ∴MN∥平面PBC. 解〔2〕：由〔1〕知MN∥PE， ∴求MN与平面ABCD所成的角即可. 作PO⊥面ABCD于O，连结OE，那么∠PEO为PE与平面ABCD所成的角. 由正棱锥的性质知 PO==. 由〔1〕知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8， ∴BE=. 在△PEB中，∠PBE=60°， PB=13，BE=， 根据余弦定理，得PE=. 在Rt△POE中，PO=，PE=， ∴sin∠PEO==. 故MN与平面ABCD所成的角为arcsin. ◆思悟提炼：证线面平行，一般是转化为证线线平行. 求直线与平面所成的角一般是作出线与面所成的角—转化为一个平面内的线线角. 【例4】如以以下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=a. 〔1〕求证：平面AD1B1∥平面C1DB； 〔2〕求证：A1C⊥平面AD1B1； 〔3〕求平面AB1D1与平面BC1D间的距离. 〔1〕 证明：∵D1B1∥DB，∴D1B1∥平面C1DB.同理，AB1∥平面C1DB. 又D1B1∩AB1=B1，∴平面AD1B1∥平面C1DB. 〔2〕证明：∵A1C1⊥D1B1，而A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影，∴A1C1⊥D1B1. 同理，A1C⊥AB1，D1B1∩AB1=B1. ∴A1C⊥平面AD1B1. 〔3〕解：设A1C∩平面AB1D1=M， A1C∩平面BC1D=N，O1、O分别为上底面A1B1C1D1、下底面ABCD的中心. 那么M∈AO1，N∈C1O，且AO1∥C1O，MN的长等于平面AD1B1与平面C1DB的距离，即MN=A1M=NC=A1C=a. 五．提炼总结以为师 1.直线和平面平行的判定方法： 2．证明两平面平行的常用方法： 3．解题中，要注意灵活地实施下面的转化: 线线ó线面ó面面；立体几何ó平面几何；从而使问题简 同步练习 9.2线面平行、面面平行 1.a、b是两个不重合平面，l,m是两条不重合直线，那么a∥b的一个充分条件是〔 〕 A.lÌa,mÌa,l∥b,m∥b B.lÌa,mÌb,l∥m C.l⊥a,m⊥b,l∥m D.l∥a,m∥b,l∥m 2．(2023年高考·湖北卷·文8)a、b、c是直线，是平面，给出以下命题： ①假设； ②假设； ③假设； ④假设a与b异面，且相交； ⑤假设a与b异面，那么至多有一条直线与a，b都垂直.其中真命题的个数是〔 〕 A．1 B．2 C．3 D．4 3．设线段AB、CD是夹在两平行平面a、b之间的异面线段，点A、CÎa，B、DÎb，假设M、N分别是AB、CD的中点，那么有 〔 〕 A.MN=(AC+BD B.MN>(AC+BD) C.MN<(AC+BD) D.MN与(AC+BD)大小关系不确定. 【填空题】 4．〔2023全国Ⅰ〕a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，那么a、b在α上的射影有可能是 ①两条平行直线; ②两条互相垂直的直线； ③同一条直线； ④一条直线及其外一点. 在上面结论中，正确结论的编号是__________.〔写出所有正确结论的编号〕 5.〔2023湖南〕．平面和直线，给出条件： ①；②；③； ④；⑤. 〔i〕当满足条件 时，有； 〔ii〕当满足条件 时，有. 〔填所选条件的序号〕 6.以下六个命题： 〔1〕垂直于同一条直线的两个平面平行； 〔2〕平行于同一条直线的两个平面平行； 〔3〕平行于同一平面的两个平面平行； 〔4〕与同一条直线成等角的两个平面平行； 〔5〕一个平面上不共线三点到同一平面的距离相等，那么这两个平面平行； (6〕两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，那么这两个平面平行.其中正确命题的序号是____________. ◆答案提示： 1-3．CAC； 4.①②④ 5.③⑤,②⑤ ; 6. 解：〔1〕、〔3〕 【解答题】 7.如以以下图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE= a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD 解：在面PCD内作EG⊥PD于G，连结AG ∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD， ∴CD⊥PD∴CD∥EG. 又AB∥CD，∴EG∥AB. 假设有EF∥平面PAD，那么EF∥AG， ∴四边形AFEG为平行四边形，得EG=AF. ∵CE==a，△PBC为直角三角形， ∴BC2=CE·CPCP=a， ==== 故得AF∶FB=2∶1时，EF∥平面PAD. 8．如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形． A B C D B1 1 D1 C1 α 1 A1 B2 A2 C2 D2 2 2 2 2 β 证明：∵ A，B，C，D四点在b内的 射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，∴A，B，C，D四点共面． 又A，B，C，D四点在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1． ∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线． ∴AB∥CD．同理AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形． 9.P是所在平面外一点，分别是 的重心， 〔1〕求证：平面; (2)求 证明:分别连PA,PB,PC并延长分别交BC,AC,AB于D,E,F 那么D,E,F分别是BC,CA,AB的中点. AC||FD， 同理AB||DE, 平面 , 又DE=AB， 易证ABC∽ =1:9 10．如以以下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且=，求证：直线MN∥平面PBC。 分析：要证直线MN∥平面PBC，只需证明MN∥平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面∥平面PBC 证法一：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意得 === =NR=MB ∵NR∥DC∥AB， ∴四边形MNRB是平行四边形 ∴MN∥RB. 又∵RB平面PBC， ∴直线MN∥平面PBC 证法二：过N作NQ∥AD交PA于点Q，连结QM， ∵==， ∴QM∥PB又NQ∥AD∥BC， ∴平面MQN∥平面PBC ∴直线MN∥平面PBC 证法三：过N作NR∥