2023学年福建师范大学附属中学高考数学四模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ） A．sgn[g（x）]＝sgn x B．sgn[g（x）]＝﹣sgnx C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）] 2．已知随机变量服从正态分布，，（ ） A． B． C． D． 3．已知等比数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 7．设，，，则的大小关系是( ) A． B． C． D． 8．若a＞b＞0，0＜c＜1，则 A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb 9．已知非零向量，满足，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 10．已知复数满足，则（ ） A． B．2 C．4 D．3 11．若双曲线的离心率，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A． B．2 C． D．1 12．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若函数为自然对数的底数）在和两处取得极值，且，则实数的取值范围是______． 14．如图，在菱形ABCD中，AB=3，，E，F分别为BC，CD上的点，，若线段EF上存在一点M，使得，则____________，____________．（本题第1空2分，第2空3分） 15．正方体的棱长为2, 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), 为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时, 的取值范围是______. 16．已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线与曲线交于，两点，若，求的值. 18．（12分）已知函数的定义域为，且满足，当时，有，且. （1）求不等式的解集； （2）对任意，恒成立，求实数的取值范围. 19．（12分）如图，已知在三棱锥中，平面，分别为的中点，且. （1）求证：； （2）设平面与交于点，求证：为的中点. 20．（12分）已知函数，其中． （1）讨论函数的零点个数； （2）求证：． 21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N. （1）求椭圆C的方程； （2）求的最小值，并求此时圆T的方程； （3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值. 22．（10分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据符号函数的解析式，结合f（x）的单调性分析即可得解. 【题目详解】 根据题意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的减函数， 当x＞0时，x＜ax，则有f（x）＞f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此时sgn[g （ x）]＝1， 当x＝0时，x＝ax，则有f（x）＝f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此时sgn[g （ x）]＝0， 当x＜0时，x＞ax，则有f（x）＜f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此时sgn[g （ x）]＝﹣1， 综合有：sgn[g （ x）]＝sgn（x）； 故选：A． 【答案点睛】 此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论. 2、B 【答案解析】 利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果. 【题目详解】 ，所以，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题. 3、B 【答案解析】 由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，选B. 4、C 【答案解析】 先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合，解得的取值范围. 【题目详解】 由题化简得，， 作出的图象， 又由易知． 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 5、D 【答案解析】 设，，根据和抛物线性质得出，再根据双曲线性质得出，，最后根据余弦定理列方程得出、间的关系，从而可得出离心率． 【题目详解】 过分别向轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为、，不妨设，， 则， 为双曲线上的点，则，即，得，， 又，在中，由余弦定理可得， 整理得，即，，解得或. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题． 6、D 【答案解析】 由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【题目详解】 如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得， ∴． 正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为， 则由得，解得， ∴． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键． 7、A 【答案解析】 选取中间值和，利用对数函数，和指数函数的单调性即可求解. 【题目详解】 因为对数函数在上单调递增, 所以, 因为对数函数在上单调递减, 所以， 因为指数函数在上单调递增, 所以, 综上可知,. 故选:A 【答案点睛】 本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 8、B 【答案解析】 试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B. 【考点】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 9、B 【答案解析】 由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得与的夹角. 【题目详解】 根据平面向量数量积的垂直关系可得， ， 所以，即， 由平面向量数量积定义可得， 所以，而， 即与的夹角为. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题. 10、A 【答案解析】 由复数除法求出，再由模的定义计算出模． 【题目详解】 ． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 11、C 【答案解析】 根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【题目详解】 双曲线的离心率， 则，，解得，所以焦点坐标为， 所以， 则双曲线渐近线方程为，即， 不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题. 12、C 【答案解析】 根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案. 【题目详解】 由题可知，程序框图的运行结果为31， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 此时输出. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先将函数在和两处取得极值，转化为方程有两不等实根，且，再令，将问题转化为直线与曲线有两交点，且横坐标满足，用导数方法研究单调性，作出简图，求出时，的值，进而可得出结果. 【题目详解】 因为，所以， 又函数在和两处取得极值， 所以是方程的两不等实根，且， 即有两不等实根，且， 令， 则直线与曲线有两交点，且交点横坐标满足， 又， 由得， 所以，当时，，即函数在上单调递增； 当，时，，即函数在和上单调递减； 当时，由得，此时， 因此，由得. 故答案为 【答案点睛】 本题主要考查导数的应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线交点的问题来处理，属于常考题型. 14、 【答案解析】 根据题意，设，则，所以，解得，所以，从而有 . 15、 【答案解析】 由弦的长度最大可知为球的直径.由向量的线性运用表示出，即可由范围求得的取值范围. 【题目详解】 连接，如下图所示： 设球心为,则当弦的长度最大时，为球的直径， 由向量线性运算可知 正方体的棱长为2，则球的半径为1，， 所以 ， 而 所以， 即 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了空间向量线性运算与数量积的运算，正方体内切球性质应用，属于中档题. 16、 【答案解析】 Aa设正四棱柱的高为h得到故得到正四棱柱的体积为 故答案为54. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1），以为圆心，为半径的圆；（2） 【答案解析】 （1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到的直角坐标方程并判断形状； （2）联立直线参数方程与的直角坐标方程，根据直线参数方程中的几何意义结合求解出的值. 【题目详解】 解：（1）由，得，所以， 即，. 所以曲线是以为圆心，为半径的圆. （2）将代入， 整理得. 设点，所对应的参数分别为，， 则，. ， 解得，则. 【答案点睛】 本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中的几何意义求值