2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案复数高中数学.docx

5.5复数 一、明确复习目标 1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义. 2.掌握复数代数形式的运算法那么，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算 3.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的根本思想 二．建构知识网络 1． 虚数单位i：i2=–1，实数可以与它进行四那么运算，原有的加、乘运算律仍成立； 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－； i具有周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1〔nN〕. 2． 形如：z=a+bi〔a,bR〕的数叫复数(代数形式), a叫实部，b叫虚部. 复数〔集C〕的分类： NZQRC 3.复数相等：设a,b,c,dR，那么a+bi=c+dia=c,b=d；a+bi=0a=b=0； 利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法； 4. 复数的模：. 两个复数不能比拟大小，但它们的模可以比拟大小； 5．共轭复数：实部相等，虚部互为相反数：a+bi和a–bi〔a,bR〕； Z的共轭复数用表示,特别地: 6．复平面、实轴、虚轴：—— 复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，,虚轴上的点,除原点外,都表示纯虚数. 和向量一样,复数也可用有向线段表示,复数的加减法运算也可按平行四边形法那么或三角形法那么进行. 7．掌握复数的和、差、积、商运算法那么： z1±z2=(a+bi) ±(c+di)=(a±c)+(b±d)i； (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i； (a+bi)÷(c+di)= i〔即分子分母同乘以分母的共轭复数,再化简〕. 复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律. 8.由复数相等的定义知:实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在当Δ<0时,有一对共轭虚根. 三、双基题目练练手 1.(2023全国Ⅰ)如果复数是实数，那么实数 ( ) A. B. C . D. 2.(2023浙江)=1－ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,那么m+ni= ( ) (A) (B) (C) (D) 3.在复平面内，假设所对应的点在第二象限，那么实数m的取值范围是 〔 〕 A． B． C． D． 4. (2023山东)的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，那么展开式中常数项是 ( ) A. B. C. D. 5.〔2023安徽〕复数等于_________ 6. (2023上海5) 假设复数同时满足－＝2，＝〔为虚数单位〕，那么＝ ； 7.(2023湖北) 设x、y为实数，且，那么x+y=________. 8.z1= x2+，z2=〔x2+a〕i对于任意xR均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围. 简答:1-4.BCDD; 5.i ; 6.；7.4; 8.|z1|>|z2|即(2a-1)x2<1-a2恒成立,得 四、经典例题做一做 【例1】设复数z=lg〔m2－2m－2〕＋〔m2＋3m＋2〕i，试求实数m取何值时，(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限 解：(1)由lg〔m2－2m－2〕=０，m2＋3m＋2≠０，得m=3 (2)由m2＋3m＋2=０，得m=－1或m=－2 (3)由 lg〔m2－2m－2〕＜０，m2＋3m＋2＞０， 得－1＜m＜1－或1＋＜m＜3 点评：对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样 【例2】〔2023上海〕在复数范围内解方程(i为虚数单位) 解. 原方程化简为, 设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, ∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±, ∴原方程的解是z=-±i. 提炼方法：设z=x+yi(x、y∈R),利用复数相等的定义. 【例3】设a∈R,z=x=yi,(x,y∈R),满足是纯虚数，求x,y应满足的条件 解：设=ki(k∈R,k≠0) 那么z2─a2=ki(z2+a2)Þz2(1─ki)=a2(1+ki), ∴(x2─y2+2xyi)(1─ki)=a2+a2kiÞ, 消去参数k即得：x2+y2=a2, ◆提炼方法： (1)纯虚数的概念; (2)虚部的概念; (3)化复数问题为实数问题的化归思想(设z=a+bi(a,b∈R));(4)假设两个复数能比拟大小，那么它们都是实数 (5) 实轴,虚轴的概念 【例4】(2023春上海) 复数满足为虚数单位〕，，求一个以为根的实系数一元二次方程. [解法一] ，∴. 假设实系数一元二次方程有虚根，那么必有共轭虚根. ， 所求的一个一元二次方程可以是. [解法二] 设 ， 得 ， 以下解法同[解法一]. 【研讨.欣赏】设z∈C，求满足z+∈R且|z－2|=2的复数z. 分析：设z=a+bi(a、b∈R)，代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b的两个方程 解法一：设z=a+bi， 那么z+=a+bi+=a+bi+ =a++(b－)i∈R ∴b=∴b=0或a2+b2=1 当b=0时，z=a， ∴|a－2|=2 ∴a=0或4 a=0不合题意舍去，∴z=4 当b≠0时，a2+b2=1 又∵|z－2|=2，∴(a－2)2+b2=4 解得a=，b=，∴z=±i 综上，z=4或z=±i 解法二：∵z+∈R， ∴z+ = + ∴(z－)－=0，(z－)·=0 ∴z=或|z|=1，下同解法一 点评：解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究;解法二利用复数是实数的条件复数问题实数化.这些都是解决复数问题的常用方法 五．提炼总结以为师 1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行; 2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题; 3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用; 4.复数问题实数化是解决复数问题的最根本也是最重要的思想方法. 同步练习 5.5复数 【选择题】 1.〔2023山东〕 ( ) A. B. C. D. 2.(2023广东)假设，其中a、b∈R，i是虚数单位，那么= A．0 B．2 C． D．5 ( ) 3.(2023福建1)设那么复数为实数的充要条件是( ) A.　B.　　C.　D. 4.(2023浙江4)．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【填空题】 5.〔2023全国Ⅰ〕复数的共轭复数是 ________ 6. (2023湖南)复数z＝i＋i2＋i3＋i4+……+i2023=__________ 7.(2023广东) 假设复数满足方程，那么_______ 8.(2023全国Ⅲ).复数z0=3+2i, 复数z满足zz0=3z+z0，那么z= 9.假设 , ，且为纯虚数，那么实数a的值为___ ． 10.假设复数〔a∈R，i为虚数单位位〕是纯虚数，那么实数a的值为_____ ◆练习简答:1-4.DDDB; 5.-i ; 6.0; 7.; 8.; 9.; 10.-6. 【解答题】 11.z是复数，z+2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围 解：设z=x+yi(x、y∈R)， ∴z+2i=x+(y+2)i，由题意得y=－2 ==(x－2i)(2+i)=(2x+2)+ (x－4)i 由题意得x=4，∴z=4－2i ∵(z+ai)2=(12+4a－a2)+8(a－2)i， 根据条件，解得2＜a＜6， ∴实数a的取值范围是(2，6) 12. 复数当求a的取值范围， 解： 因 故a的取值范围是 13. ，且复数的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数的模； 解. 即 14. 设复数z=+， 问当x为何实数时，z是⑴实数， ⑵ 虚数， ⑶ 纯虚数， ⑷ z在复平面上对应的点在实轴上方，⑸|z|=1 解：⑴当，即x=a或时z为实数； ⑵当，即且时z为虚数； ⑶当＝0且，即x=1时z为纯虚数 ⑷.假设0<a<1，那么0<x<a或x>；假设a>1，那么x>a或0<x<时z对应的点在实轴上方； ⑸当＋＝1即x=1时，|z|=1 【探索题】设z是虚数，ω=z+是实数，且－1＜ω＜2 〔1〕求|z|的值及z的实部的取值范围； 〔2〕设u=，求证：u为纯虚数； 〔3〕求ω－u2的最小值 解〔1〕：设z=a+bi(a、b∈R，b≠0)， 那么ω=a+bi+=(a+)+(b－)i ∵ω是实数，b≠0， ∴a2+b2=1，即|z|=1 ∵ω=2a，－1＜ω＜2， ∴z的实部的取值范围是(－，1) 〔2〕证明：u== = =－i ∵a∈(－，1)，b≠0， ∴u为纯虚数 〔3〕解：ω－u2=2a+ =2a－1+ =2［(a+1)+］－3 ∵a∈(－，1)，∴a+1＞0 ∴ω－u2≥2×2－3=1 当a+1=，即a=0时，上式取等号 ∴ω－u2的最小值为1