2023学年福建省福州市罗源第一中学高考冲刺模拟数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（ ）. A． B． C． D． 2．关于函数在区间的单调性，下列叙述正确的是（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先递减后递增 D．先递增后递减 3．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ） A．7 B．5 C．3 D．2 4．已知为抛物线的焦点，点在上，若直线与的另一个交点为，则( ) A． B． C． D． 5．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( ) A． B． C．（） D．（） 6．已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A．4 B．8 C．16 D．2 7．已知函数，，且在上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．函数在上单调递减 D．函数的图像关于点对称 8．集合中含有的元素个数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 9．在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（ ）． A． B． C． D． 11．对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 12．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____. 14．设、、、、是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为__________. 15．已知复数，其中为虚数单位，则的模为_______________. 16．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，,使得对任意两个不等的正实数，都有恒成立. （1）求的解析式； （2）若方程有两个实根，且，求证：. 18．（12分）已知椭圆的右顶点为，点在轴上，线段与椭圆的交点在第一象限，过点的直线与椭圆相切，且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点. （Ⅰ）当为线段的中点时，求直线的方程； （Ⅱ）记的面积为，的面积为，求的最小值. 19．（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离为2， （1）求的值与抛物线的方程； （2）抛物线上第一象限内的动点在点右侧，抛物线上第四象限内的动点，满足，求直线的斜率范围. 20．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4. （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线与椭圆C交于两点，是否存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 21．（12分）已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:（是参数）. （1）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值. （2）设为曲线上任意一点，求的取值范围. 22．（10分）设函数. （1）若，时，在上单调递减，求的取值范围； （2）若，，，求证：当时，． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 算出集合A、B及，再求补集即可. 【题目详解】 由，得，所以，又， 所以，故或. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 2、C 【答案解析】 先用诱导公式得,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【题目详解】 函数的图象可由向左平移个单位得到,如图所示,在上先递减后递增. 故选：C 【答案点睛】 本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题. 3、B 【答案解析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【题目详解】 画出约束条件，表示的可行域，如图， 由可得， 将变形为， 平移直线， 由图可知当直经过点时， 直线在轴上的截距最大， 最大值为，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 4、C 【答案解析】 求得点坐标，由此求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得点坐标，进而求得 【题目详解】 抛物线焦点为，令，，解得，不妨设，则直线的方程为，由，解得，所以. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题. 5、B 【答案解析】 如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案. 【题目详解】 如图所示：连接，根据垂直平分线知， 故，故轨迹为双曲线， ，，，故，故轨迹方程为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键. 6、A 【答案解析】 利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得. 【题目详解】 . 故选:. 【答案点睛】 本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易. 7、B 【答案解析】 根据函数，在上是单调函数，确定 ，然后一一验证， A.若，则，由，得，但.B.由，，确定，再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0. 【题目详解】 因为函数，在上是单调函数， 所以 ，即，所以 ， 若，则，又因为，即，解得， 而，故A错误. 由，不妨令 ，得 由，得 或 当时，，不合题意. 当时，，此时 所以，故B正确. 因为，函数，在上是单调递增，故C错误. ，故D错误. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题. 8、B 【答案解析】 解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B 9、D 【答案解析】 将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果. 【题目详解】 ，对应的点位于第四象限. 故选:. 【答案点睛】 本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易. 10、B 【答案解析】 奇函数满足定义域关于原点对称且，在上即可. 【题目详解】 A：因为定义域为，所以不可能时奇函数，错误； B：定义域关于原点对称，且 满足奇函数，又，所以在上，正确； C：定义域关于原点对称，且 满足奇函数，，在上，因为，所以在上不是增函数，错误； D：定义域关于原点对称，且， 满足奇函数，在上很明显存在变号零点，所以在上不是增函数，错误； 故选：B 【答案点睛】 此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目. 11、D 【答案解析】 根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据 ，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论. 【题目详解】 依题意知，与为函数的“线性对称点”， 所以， 故（当且仅当时取等号）. 又与为函数的“线性对称点， 所以， 所以， 从而的最大值为. 故选:D. 【答案点睛】 本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题. 12、C 【答案解析】 显然函数在区间内连续,由的一个零点在区间内,则,即可求解. 【题目详解】 由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得, 故选:C 【答案点睛】 本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解. 【题目详解】 由题：函数在区间内有且仅有两个零点， ， 等价于函数恰有两个公共点， 作出大致图象： 要有两个交点，即， 所以. 故答案为： 【答案点睛】 此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解. 14、 【答案解析】 根据球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，求得四棱锥的表达式，利用基本不等式求得体积的最大值. 【题目详解】 由已知可得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，棱锥的高为，底面边长为，的体积 ，当且仅当时等号成立. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查球的表面积有关计算，考查球的内接四棱锥体积的最值的求法，属于中档题. 15、 【答案解析】 利用复数模的计算公式求解即可. 【题目详解】 解：由，得， 所以. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查复数模的求法，属于基础题. 16、 【答案解析】 由题意得出展开式中共有11项，；再令求得展开式中各项的系数和． 【题目详解】 由的展开式中只有第六项的二项式系数最大， 所以展开式中共有11项，所以； 令，可求得展开式中各项的系数和是： ． 故答案为：1． 【答案点睛】 本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查二项式展开式各项系数和的求法，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）证明见解析. 【答案解析】 （1）根据题意，在上单调递减，求导得，分类讨论的单调性，结合题意，得出的解析式； （2）由为方程的两个实根，得出，，两式相减，分别算出和，利用换元法令和构造函数，根据导数研究单调性，求出，即可证出结论. 【题目详解】 （1）根据题意，对任意两个不等的正实数，都有恒成立. 则在上单调递减， 因为， 当时，在内单调递减.， 当时，由，有， 此时，当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上，，所以. （2）由为方程的两个实根， 得， 两式相减，可得， 因此， 令，由，得， 则， 构造函数. 则， 所以函数在上单调递增， 故， 即， 可知， 故，命题得证. 【答案点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性求函数的解析式、以及利用构造函数法证明不等式，考查转化思想、解题分析能力和计算能力. 18、（Ⅰ）直线的方程为（Ⅱ） 【答案解析】 （1）设点，利用中点坐标公式表示点B，并代入椭圆方程解得，从而求出直线的方程；（2）设直线的方程为：，表示点，然后联立方程，利用相切得出，然后求出切点，再设出设直线的方程，求出点，利用两点坐标