2023学年襄阳市第五中学高考数学押题试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的虚部为（ ） A． B． C．2 D． 2．若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 5．若函数的图象上两点，关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式（ ） A． B． C． D． 7．连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ） A． B． C． D． 10．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数 11．设曲线在点处的切线方程为，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知等边三角形的边长为1．,点、分别为线段、上的动点,则取值的集合为__________． 14．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为__________. 15．若随机变量的分布列如表所示，则______，______． -1 0 1 16．已知实数a，b，c满足，则的最小值是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）解不等式； （2）使得，求实数的取值范围. 18．（12分）已知矩阵，. 求矩阵； 求矩阵的特征值. 19．（12分）已知椭圆：（）的离心率为，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于，两点，为坐标原点. （1）若直线过椭圆的上顶点，求的面积； （2）若，分别为椭圆的左、右顶点，直线，，的斜率分别为，，，求的值. 20．（12分）设等比数列的前项和为，若 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）在和之间插入个实数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：. 21．（12分）如图，在四棱锥中，，，. （1）证明：平面； （2）若，，为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 22．（10分）在直角坐标系中，直线l过点，且倾斜角为，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． 求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线； 设直线l与曲线C相交与M，N两点，当，求的值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据复数的除法运算，化简出，即可得出虚部. 【题目详解】 解：=， 故虚部为-2. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算和复数的概念. 2、B 【答案解析】 求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围. 【题目详解】 函数的导数为， 令，则或， 上单调递减，上单调递增， 所以0或是函数y的极值点， 函数的极值为：， 函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：. 故选B. 【答案点睛】 该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大. 3、A 【答案解析】 易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程. 【题目详解】 由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故， 又所以，即， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题. 4、D 【答案解析】 通过分析函数与的图象，得到两函数必须有相同的零点，解方程组即得解. 【题目详解】 如图所示，函数与的图象， 因为时，恒成立， 于是两函数必须有相同的零点， 所以 ， 解得． 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5、D 【答案解析】 由题可知，可转化为曲线与有两个公共点，可转化为方程有两解，构造函数，利用导数研究函数单调性，分析即得解 【题目详解】 函数的图象上两点，关于直线的对称点在上， 即曲线与有两个公共点， 即方程有两解， 即有两解， 令， 则， 则当时，；当时，， 故时取得极大值，也即为最大值， 当时，；当时，， 所以满足条件． 故选：D 【答案点睛】 本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题. 6、C 【答案解析】 利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式. 【题目详解】 由，得，可得（）. 相减得，则（），又 由，，得，所以，所以为常 数列，所以，故. 故选：C 【答案点睛】 本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识. 7、D 【答案解析】 先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率. 【题目详解】 双曲线与互为共轭双曲线， 四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为， 四个顶点形成的四边形的面积， 四个焦点连线形成的四边形的面积， 所以， 当取得最大值时有，，离心率， 故选：D. 【答案点睛】 该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目. 8、A 【答案解析】 分析可得,显然在上恒成立,只需讨论时的情况即可,,然后构造函数,结合的单调性,不等式等价于,进而求得的取值范围即可. 【题目详解】 由题意,若,显然不是恒大于零,故. ,则在上恒成立; 当时,等价于, 因为,所以. 设,由,显然在上单调递增, 因为,所以等价于,即,则. 设,则. 令,解得,易得在上单调递增,在上单调递减, 从而，故. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题. 9、D 【答案解析】 倾斜角为的直线与直线垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果. 【题目详解】 解：因为直线与直线垂直，所以，. 又为直线倾斜角，解得. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题. 10、A 【答案解析】 通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变. 【题目详解】 由题可知，中位数和众数、平均数都有变化. 本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以没有改变， 根据方差公式可知方差不变. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11、D 【答案解析】 利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解 【题目详解】 因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即. 故选：D 【答案点睛】 本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题 12、C 【答案解析】 根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解． 【题目详解】 ，， ，． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量服从正态分布，则． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标,依题意求出,,,的表达式,再进行数量积的运算,最后求和即可得出结果. 【题目详解】 解: 以的中点为坐标原点,所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,如图所示, 则,,,, 则,,, 设, , , 即点的坐标为, 则,,, 所以 故答案为: 【答案点睛】 本题考查平面向量的坐标表示和线性运算,以及平面向量基本定理和数量积的运算,是中档题. 14、 【答案解析】 如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，计算得到，得到答案. 【题目详解】 如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为， 则，所以，所以球的半径， 则球的表面积为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥补成长方体是解题的关键. 15、 【答案解析】 首先求得a的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得的值，由方差的性质计算的值即可. 【题目详解】 由题意可知，解得（舍去）或. 则， 则， 由方差的计算性质得. 【答案点睛】 本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16、 【答案解析】 先分离出，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值. 【题目详解】 解：若取最小值，则异号，， 根据题意得：， 又由，即有， 则， 即的最小值为， 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）或 . 【答案解析】 （1）分段讨论得出函数的解析式，再分范围解不等式，可得解集； （2）先求出函数的最小值，再建立关于的不等式，可求得实数的取值范围. 【题目详解】 （1）因为 ， 所以当时，； 当时， 无解； 当时，； 综上，不等式的解集为； （2）， 又， 或 . 【答案点睛】 本题考查分段函数，绝对值不等式的解法，以及关于函数的存在和任意的问题，属于中档题. 18、；，. 【答案解析】 由题意，可得，利用矩阵的知识求解即可.