2023学年湖南省长沙市宁乡一中高考考前模拟数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设函数，若在上有且仅有5个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 3．已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 4．将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间上单调递减，那么实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．设分别为的三边的中点，则（ ） A． B． C． D． 6．已知集合,则（ ） A． B． C． D． 7．等比数列中，，则与的等比中项是（ ） A．±4 B．4 C． D． 8．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）． A． B． C． D． 9．已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，，则（ ） A． B． C． D． 10．已知为虚数单位，若复数，则 A． B． C． D． 11．已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（ ） A． B． C．2 D．﹣2 12．已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，记，则的展开式中各项系数和为__________． 14．设，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足，且，则椭圆C的离心率为______. 15．已知数列与均为等差数列（），且，则______． 16．已知函数，则函数的极大值为 ___________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1． （1）求椭圆的方程； （2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值． 18．（12分）已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k¹0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S. （1）求点G的轨迹方程； （2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由. 19．（12分）已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 20．（12分）已知函数(). （1）讨论的单调性； （2）若对，恒成立，求的取值范围. 21．（12分）已知，求的最小值. 22．（10分）如图，已知在三棱台中，，，. （1）求证：； （2）过的平面分别交，于点，，且分割三棱台所得两部分几何体的体积比为，几何体为棱柱，求的长. 提示：台体的体积公式（，分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高）. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 由求出范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立不等量关系，即可求解. 【题目详解】 当时，， ∵在上有且仅有5个零点， ∴，∴. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题. 2、A 【答案解析】 依题意有的周期为.而，故应左移. 3、D 【答案解析】 先求出集合N的补集，再求出集合M与的交集，即为所求阴影部分表示的集合. 【题目详解】 由，，可得或， 又 所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题. 4、B 【答案解析】 根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可. 【题目详解】 将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象， 则， 设， 则当时，，， 即， 要使在区间上单调递减， 则得，得， 即实数的最大值为， 故选：B. 【答案点睛】 本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题. 5、B 【答案解析】 根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解. 【题目详解】 根据题意,可得几何关系如下图所示: , 故选:B 【答案点睛】 本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题. 6、B 【答案解析】 计算，再计算交集得到答案 【题目详解】 ,表示偶数， 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力. 7、A 【答案解析】 利用等比数列的性质可得 ，即可得出． 【题目详解】 设与的等比中项是． 由等比数列的性质可得， ． ∴与的等比中项 故选A． 【答案点睛】 本题考查了等比中项的求法，属于基础题． 8、A 【答案解析】 基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率． 【题目详解】 解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数， 基本事件总数， 其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个， 其和等于的概率． 故选：． 【答案点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 9、A 【答案解析】 如图设平面，球心在上，根据正四面体的性质可得，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出的值. 【题目详解】 如图设平面，球心在上，由正四面体的性质可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中， ， ，，，，因为为重心，因此，则，因此，因此，则，故选A. 【答案点睛】 本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题. 10、B 【答案解析】 因为，所以，故选B． 11、D 【答案解析】 化简z＝（1+2i）（1+ai）=，再根据z∈R求解. 【题目详解】 因为z＝（1+2i）（1+ai）=， 又因为z∈R， 所以， 解得a＝-2. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12、A 【答案解析】 令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x， 令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=， 故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数， 故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1， 而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1时，等号成立）； 故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据定积分的计算，得到，令，求得，即可得到答案． 【题目详解】 根据定积分的计算，可得， 令，则， 即的展开式中各项系数和为. 【答案点睛】 本题主要考查了定积分的应用，以及二项式定理的应用，其中解答中根据定积分的计算和二项式定理求得的表示是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 14、 【答案解析】 采用数形结合，计算以及，然后根据椭圆的定义可得，并使用余弦定理以及，可得结果. 【题目详解】 如图 由，所以 由，所以 又，则 所以 所以 化简可得： 则 故答案为： 【答案点睛】 本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题. 15、20 【答案解析】 设等差数列的公差为,由数列为等差数列,且,根据等差中项的性质可得, ,解方程求出公差,代入等差数列的通项公式即可求解. 【题目详解】 设等差数列的公差为, 由数列为等差数列知,, 因为,所以, 解得,所以数列的通项公式为 ， 所以. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查等差数列的概念及其通项公式和等差中项;考查运算求解能力;等差中项的运用是求解本题的关键;属于基础题. 16、 【答案解析】 对函数求导，通过赋值，求得，再对函数单调性进行分析，求得极大值. 【题目详解】 ，故 解得， ， 令，解得 函数在单调递增，在单调递减， 故的极大值为 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）2. 【答案解析】 （1）利用的最小值为1，可得，，即可求椭圆的方程； （2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得到关于的一元二次方程，由直线与椭圆仅有一个公共点知，即可得到，的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到，．当时，设直线的倾斜角为，则，即可得到四边形面积的表达式，利用基本不等式的性质，结合当时，四边形是矩形，即可得出的最大值． 【题目详解】 （1）设，则，， ，， 由题意得，， 椭圆的方程为；   （2）将直线的方程代入椭圆的方程中， 得．                 由直线与椭圆仅有一个公共点知，， 化简得：．                            设，， 当时，设直线的倾斜角为， 则， ， ， ， ∴当时，，， ． 当时，四边形是矩形，．    所以四边形面积的最大值为2． 【答案点睛】 本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想． 18、（1）（2）当G点横坐标为整数时，S不是整数． 【答案解析】 （1）先求解导数，得出切线方程，联立方程得出交点G的轨迹方程； （2）先求解弦长，再分别求解点到直线的距离，表示出四边形的面积，结合点G的横坐标为整数进行判断. 【题目详解】 （1）设，则， 抛物线C的方程可化为，则， 所以曲线C在点A处的切线方程为， 在点B处的切线方程为， 因为两切线均过点G，所以， 所以A，B两点均在直线上，所以直线AB的方程为， 又因为直线AB过点F(0，p)，所以，即G点轨迹方程为； （2）设点G(，)，由（1）可知，直线AB的方程为， 即， 将直线AB