2023学年福州第一中学高考临考冲刺数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．已知函数，则（ ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数图像关于对称 D．函数图像关于对称 3．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ） A． B． C．16 D．32 4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点.若的内切圆与线段在其中点处相切，与相切于点，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点，其横坐标分别为，则（ ） A． B． C． D． 6．已知向量与向量平行，，且，则（ ） A． B． C． D． 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ） A． B． C． D． 8．设全集，集合，，则集合（ ） A． B． C． D． 9．已知双曲线的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ） A． B． C． D． 11．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 12．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）函数的定义域是____________． 14．已知半径为4的球面上有两点，，球心为O，若球面上的动点C满足二面角的大小为，则四面体的外接球的半径为_________. 15．若为假，则实数的取值范围为__________. 16．设满足约束条件，则的取值范围是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）己知，，. （1）求证：； （2）若，求证：. 18．（12分）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点. （1）求椭圆C的方程； （2）过左焦点的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，若，求直线l的斜率k. 19．（12分）在中，内角的对边分别是，已知． （1）求的值； （2）若，求的面积． 20．（12分）已知，分别是椭圆：的左，右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点． （1）求,的值： （2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于A，B两点，且与椭圆相交于C，D两点，当时，求△的面积． 21．（12分）已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围. 22．（10分）在中,角、、所对的边分别为、、，角、、的度数成等差数列，. （1）若，求的值； （2）求的最大值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案. 【题目详解】 如图所示：作垂直于准线交准线于，则， 在中，，故，即. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力. 2、C 【答案解析】 依题意可得，即函数图像关于对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性； 【题目详解】 解：由， ，所以函数图像关于对称， 又，在上不单调. 故正确的只有C， 故选：C 【答案点睛】 本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 3、A 【答案解析】 几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是，选A. 4、D 【答案解析】 可设的内切圆的圆心为，设，，可得，由切线的性质：切线长相等推得，解得、，并设，求得的值，推得为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值． 【题目详解】 可设的内切圆的圆心为，为切点，且为中点，， 设，，则，且有，解得，， 设，，设圆切于点，则，， 由，解得，， ，所以为等边三角形， 所以，，解得. 因此，该椭圆的离心率为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题． 5、A 【答案解析】 画出函数的图像，函数对称轴方程为，由图可得与关于对称，即得解. 【题目详解】 函数的图像如图， 对称轴方程为， ， 又， 由图可得与关于对称， 故选：A 【答案点睛】 本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 6、B 【答案解析】 设，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标. 【题目详解】 设，且，， 由得，即，①，由，②， 所以，解得，因此，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 7、D 【答案解析】 先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度. 【题目详解】 根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示： 由三视图知： ， 所以， 所以， 所以该几何体的最长棱的长为 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 8、C 【答案解析】 ∵集合，， ∴ 点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集. 9、B 【答案解析】 试题分析：由题意得，，所以，，所求双曲线方程为． 考点：双曲线方程. 10、C 【答案解析】 利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值. 【题目详解】 因为，且， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果. 11、C 【答案解析】 作出三棱锥的实物图，然后补成直四棱锥，且底面为矩形，可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球，然后计算出矩形的外接圆直径，利用公式可计算出外接球的直径，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【题目详解】 三棱锥的实物图如下图所示： 将其补成直四棱锥，底面， 可知四边形为矩形，且，. 矩形的外接圆直径，且. 所以，三棱锥外接球的直径为， 因此，该三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 12、C 【答案解析】 根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案. 【题目详解】 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象， 由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称， 即函数为偶函数，由，得， 函数在区间上单调递增，则，得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 要使函数有意义，则，即，解得，故函数的定义域是． 14、 【答案解析】 设所在截面圆的圆心为，中点为，连接， 易知即为二面角的平面角，可求出及，然后可判断出四面体外接球的球心在直线上，在中，，结合，可求出四面体的外接球的半径. 【题目详解】 设所在截面圆的圆心为，中点为，连接， OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理O1D⊥AB，所以，即为二面角的平面角， ， 因为，所以是等腰直角三角形，， 在中，由cos60º＝，得，由勾股定理，得：， 因为O1到A、B、C三的距离相等，所以，四面体外接球的球心在直线上， 设四面体外接球半径为， 在中，， 由勾股定理可得：，即，解得． 【答案点睛】 本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题． 15、 【答案解析】 由为假，可知为真，所以对任意实数恒成立，求出的最小值，令即可. 【题目详解】 因为为假，则其否定为真， 即为真，所以对任意实数恒成立，所以. 又，当且仅当，即时，等号成立，所以. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题. 16、 【答案解析】 作出可行域，将目标函数整理为可视为可行解与的斜率，则由图可知或，分别计算出与，再由不等式的简单性质即可求得答案. 【题目详解】 作出满足约束条件的可行域， 显然当时，z=0； 当时将目标函数整理为可视为可行解与的斜率，则由图可知或 显然，联立，所以 则或，故或 综上所述， 故答案为： 【答案点睛】 本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）证明见解析（2）证明见解析 【答案解析】 （1）采用分析法论证，要证，分式化整式为，再利用立方和公式转化为，再作差提取公因式论证. （2）由基本不等式得，再用不等式的基本性质论证. 【题目详解】 （1）要证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 该式显然成立，当且仅当时等号成立， 故. （2）由基本不等式得， ， 当且仅当时等号成立. 将上面四式相加，可得， 即. 【答案点睛】 本题考查证明不等式的方法、基本不等式，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.. 18、（1）（2）直线l的斜率为或 【答案解析】 (1)根据已知列出方程组即可解得椭圆方程; (2)设直线方程,与椭圆方程联立, 转化为,借助向量的数量积的坐标表示,及韦达定理即可求得结果. 【题目详解】 （1）由题意得 解得 故椭圆C的方程为. （2）直线l的方程为， 设，， 则由方程组消去y得， ， 所以，， 由，得， 所以， 又 所以， 即 所以， 因此，直线l的斜率为或. 【答案点睛】 本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查学生的计算求解能力,难度一般. 19、（1）；（2）. 【答案解析】 （1）由，利用余弦定理可得,结合可得结果； （2）由正弦定理，, 利用三角形内角和定理可得，由三角形面积公式可得结果. 【题目详解】 （1）由题意，得. ∵. ∴, ∵ ，∴ . （2）∵， 由正弦定理，可得. ∵a>b，∴