2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案函数图象变换高中数学.docx

2.4 函数图象与变换 ——图象是研究函数的工具,是数形结合的载体,“数形结合千般好,数形别离万事休〞,新课标和高考提高了对作图和用图能力的要求 一、明确复习目标 1、理解函数图象的意义，掌握两种画图方法——描点法和图象变换法； 2、会利用函数图象，进一步研究函数的性质、方程、不等式中的问题； 3、理解图象变换与函数式变换之间的关系，领会知识间的联系。 二．建构知识网络 1、函数y=f(x)的图象是由坐标为(x,f(x))的点构成的;要证明点(a,b)在函数y=f(x)的图象上,只须证明b=f(a); 2、画图象的方法——描点法和图象变换法．要掌握这两种方法； 由函数解析式，用描点法作图象应①化简解析式;②分析函数的性质如：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等，③选算对应值，列表描点； 3、要理解图象变换与函数式的变换之间的关系，常见的 图象变换有：平移、伸缩、对称、旋转等 (1)平移变换 函数y=f(x+a)(a≠0)的图象——把函数y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|； 函数y=f(x)+b(b≠0)的图象——把函数y=f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b| 函数y=f(x+a)+b(b≠0)的图象呢？ 函数y=f(x)的图象按向量=(h,k)平移后得函数y=f(x-h)+k (2)伸缩变换 函数y=Af(x)(A＞0，A≠1)的图象——把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)成原来的A倍； 函数y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象——把函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长〔0<ω<1〕或缩短〔ω>1〕为原来的1/ω； 说出y=Asin(ωx+φ)与y=sinx之间的关系—— (3)对称变换 函数y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称〔即把〔x,y〕换成〔-x,y〕〕； 函数y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称；(即把〔x,y〕换成〔x,-y〕〕 函数y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于原点对称(即把〔x,y〕换成〔-x,-y〕〕； 函数y=f -1(x)的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称； 函数y=f(|x|)的图象——把y=f(x)在y轴右方的图象换成y轴左边的对称图形即可； 函数y=|f(x)|的图象——把y=f(x)的图象在x轴下方的翻折到x轴上方而得到． 4、奇偶函数图象的对称性，互为反函数的图象的对称关系； 5、假设f(x)满足f(a+x)=f(b－x)那么f(x)的图象以为对称轴;特例：假设f(a+x)=f(a－x)那么f(x)的图象关于x=a对称。 6、假设f(x)满足f(a+x)=-f(b－x)那么f(x)的图象以为对称中心;特例：假设f(a+x)=-f(a－x)那么f(x)的图象以点〔a,0〕为对称中心。 7、假设f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c那么f(x)的图象关于点中心对称。 证明：设P〔x,y〕是图象上任一点，那么y=f(x)； 由中点公式得 P关于点对称的点为Q(a+b-x,c-y). 设t=b-x即x=b-t代入f(a+x)+f(b-x)=c得 f(t)=c-f(a+b-t)即f(a+b-x) =c- f(x)=c-y,即Q在图象上。 所以f(x)的图象象关于点中心对称。 特例：假设f(a+x)+f(a－x)=2c那么f(x)的图象以点〔a,c〕为对称中心. 8、函数y=f(a+x)与 y=f(x-b)的图象关于直线对称。 证明：略 特例：函数y=f(a+x)与 y=f(a-x)的图象关于直线x=0对称。 三、双基题目练练手 1、假设把函数y=f(x)的图像作平移，可以使图像上的点P(1，0)变换成点Q(2，2)，那么函数y=f (x)的图像经此变换后所得图像对应的函数为 ( ) A.y=f(x-1)+2 B.y=f(x-1)-2 C.y=f(x+1)+2 D.y=f(x+1)-2 2、(2023广东7) 函数y=f(x)的反函数y=f -1(x)的图象与y轴交于点P(0,2)(如以下图)，那么方程f(x)=0的根是x= ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3、设函数y=f(x)的定义域为Ｒ，那么函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关系为 ( ) Ａ、直线y=0对称 Ｂ、直线x=0对称 Ｃ、直线y=1对称 Ｄ、直线x=1对称 4、函数的图象，可由的图象经过下述变换得到〔 〕 A．向左平移6个单位 B．向右平移6个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位 5、方程〔a>0且a≠1〕实数解的个数是 6、方程f(x,y)=0的曲线过点〔2，4〕，那么方程f(2－x,y)=0的曲线必过点 7.函数f(x)=x2+2x+1,假设存在实数t,当x∈[1,m]时,f(x+t)≤x恒成立,那么实数m的最大值为________ 简答:1-4、ACDD； 5、1； 6、〔0，4〕 2、f -1(x)交y 轴于点(0,2),那么f(x)交x轴于点(2,0), 4、由可知—〔或由换元法， 6、即把(x,y)换成(2-x,y)；图象关于x=1对称；或2-x=2,y=0。 7、f(x+t)即把f(x)左右平移,只能向右平移,最多移到f(1+t)=1时m最大.算得mmax=4. 法二:只须有解. 四、经典例题做一做 【例1】图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象. 〔1〕试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义. 〔2〕由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示.你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？ 〔3〕图①、图②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？票价在图中的几何意义是什么 解：〔1〕点A表示无人乘车时收入差额为－20元，点B表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利. 〔2〕图②的建议是降低本钱，票价不变，图③的建议是增加票价. 〔3〕图①②中的票价是2元.图③中的票价是4元. 票价在图中的几何意义是直线的斜率. 知识.感悟：图象的意义和函数式中系数〔斜率、截距〕的实际意义。 【例2】〔1〕假设方程有两个不同的实数根，求实数m的范围。 _ O _ y _ x _ - _ 1 _ 2 〔2〕求不等式的解； 解：〔1〕方程的根就是函数和 的图象交点的横坐标，当 在如图两直线之间时有两交点。 由 由 ∴ 〔2〕解方程得，结合图形知，不等式的解集为 点评：利用函数图象的交点研究方程的根、不等式的解；这是数形结合的典范，要能熟练运用。 【例3】函数 〔1〕证明函数y=f(x)的图象关于点〔1/2,1/2〕对称 〔2〕求f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)的值 证明〔1〕设是图象上任一点，那么 又P关于点〔1/2,1/2〕对称点为Q〔1-x,1-y〕 所以，函数y=f(x)的图象关于点〔1/2,1/2〕对称； 〔2〕由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。 归纳方法： 〔1〕会求对称点的坐标; ：证对称性就是证图象上任一点〔x,y〕关于“xx“对称的点仍在图象上； 〔2〕注意解析式的变换运用和既得结论的应用。 【例4】 (88年全国)给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝ (其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。 【证明】 ① 设是函数图像上任意两个不同的点，那么, 假设直线平行于x轴，那么必有，即＝，整理得 ∵ ∴ a＝1， 这与“a≠1〞矛盾， 因此假设不对，即直线不平行于x轴。 ② 由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝，即原函数y＝的反函数为y＝，图像一致。由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝的图像关于直线y＝x成轴对称图像。 对于“不平行〞这样否认性结论可使用反证法，假设“平行〞，经推理，导出矛盾。第②问中，对称问题运用了反函数图象的对称性，方法巧妙，表达了知识间的联系和解题思路的灵活性。 【研究.欣赏】(2023春上海) 设函数. 〔1〕在区间上画出函数的图像； 〔2〕设集合 . 试判断集合和之间的关系，并给出证明； 〔3〕当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方. 解:〔1〕 〔2〕方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此 . 由于 〔3〕[解法一] 当时，. . 又， ① 当，即时，取， . ， 那么. ② 当，即时，取， ＝. 由 ①、②可知，当时，，. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. [解法二] 当时，. 由 得， 令 ，解得 或， 在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点. 如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. 五．提炼总结以为师 1、函数图象的意义—— 两种画图方法—— 2、理解图象变换与函数式变换之间的关系——平移变换、伸缩变换、对称变换、对称轴、对称中心和函数式表示—— 3、利用函数的图象讨论函数的性质、方程的根和不等式的解； 例题简答： 同步练习 2.4 函数图象与变换 【选择题】 1、(2023陕西4) 设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),那么a+b等于 ( ) A 6 B 5 C 4 D 3 2、〔2023福建〕函数的图象如图，其中a、b为常数，那么以下结论正确的选项是 〔 〕 A． B． C． D． 3、 设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)2－1,那么x>1时f(x)等于 ( ) A f(x)=(x+3)2－1 B f(x)=(x－3)2－1 C f(x)=(x－3)2+1 D f(x)=(x－1)2－1 4、设偶函数y＝f〔x〕的图像关于直线x=1对称，在0≤x≤1时f〔x〕=x2,那么f(2023)= ( ) A.0 B. 1 C. 2023 D. 2023 【填空题】 5、函数y=log3(3-x)的图象是由y= log3(x+3)的图象经怎样的变换而得到 6、f(x+199)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为____． 简答：1-4、CDBA； 3、数形结合，x≤1时，f(x)对称轴为x=－1,最小值为－1，又y=f(x)关于x=1对称，故在x>1上，f