2023学年福建省龙岩市龙岩北附高考数学必刷试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（ ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数图像关于对称 D．函数图像关于对称 2．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（　　） A． B．或 C． D． 4．平行四边形中，已知，，点、分别满足，，且，则向量在上的投影为（ ） A．2 B． C． D． 5．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是( ) A．至少有一个样本点落在回归直线上 B．若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1 C．对所有的解释变量（），的值一定与有误差 D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关 6．已知全集为，集合，则（ ） A． B． C． D． 7．设命题函数在上递增，命题在中，，下列为真命题的是（ ） A． B． C． D． 8．关于函数有下述四个结论：（ ） ①是偶函数； ②在区间上是单调递增函数； ③在上的最大值为2； ④在区间上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④ 9．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 10．点为的三条中线的交点，且，，则的值为( ) A． B． C． D． 11．已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 12．设曲线在点处的切线方程为，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，四面体的一条棱长为，其余棱长均为1，记四面体的体积为，则函数的单调增区间是____；最大值为____. 14．已知数列的首项，函数在上有唯一零点，则数列|的前项和__________. 15．在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___. 16．已知多项式满足，则_________，__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在四棱柱中，底面为菱形，. （1）证明：平面平面； （2）若，是等边三角形，求二面角的余弦值. 18．（12分）在直角坐标平面中，已知的顶点，，为平面内的动点，且. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点. 19．（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点D，E分别在边，上）；再取的中点M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）. （1）分别求，关于x的函数关系式； （2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值. 20．（12分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程是（为参数，常数），曲线的极坐标方程是. （1）写出的普通方程及的直角坐标方程，并指出是什么曲线； （2）若直线与曲线，均相切且相切于同一点，求直线的极坐标方程. 21．（12分）已知函数 （I）若讨论的单调性； （Ⅱ）若，且对于函数的图象上两点，存在，使得函数的图象在处的切线.求证：. 22．（10分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中,s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （1）求样本平均数的大小； （2）若一个零件的尺寸是100 cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 依题意可得，即函数图像关于对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性； 【题目详解】 解：由， ，所以函数图像关于对称， 又，在上不单调. 故正确的只有C， 故选：C 【答案点睛】 本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 2、A 【答案解析】 计算，得到答案. 【题目详解】 根据题意，故，表示的复数在第一象限. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力. 3、C 【答案解析】 由可得，故可求的值. 【题目详解】 因为，所以， 故，因为正项等比数列，故，所以，故选C. 【答案点睛】 一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质： （1）若，则； （2）公比时，则有，其中为常数且； （3） 为等比数列（ ）且公比为. 4、C 【答案解析】 将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案. 【题目详解】 解： ， 得， 则向量在上的投影为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题. 5、D 【答案解析】 对每一个选项逐一分析判断得解. 【题目详解】 回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误； 所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误； 若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C错误； 相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率，则，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确． 故选D． 【答案点睛】 本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6、D 【答案解析】 对于集合,求得函数的定义域,再求得补集；对于集合,解得一元二次不等式, 再由交集的定义求解即可. 【题目详解】 , ,. 故选:D 【答案点睛】 本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式. 7、C 【答案解析】 命题：函数在上单调递减，即可判断出真假．命题：在中，利用余弦函数单调性判断出真假． 【题目详解】 解：命题：函数，所以，当时，，即函数在上单调递减，因此是假命题． 命题：在中，在上单调递减，所以，是真命题． 则下列命题为真命题的是． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8、C 【答案解析】 根据函数的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号. 【题目详解】 的定义域为. 由于，所以为偶函数，故①正确. 由于，，所以在区间上不是单调递增函数，所以②错误. 当时，， 且存在，使. 所以当时，； 由于为偶函数，所以时， 所以的最大值为，所以③错误. 依题意，，当时， ， 所以令，解得，令，解得.所以在区间，有两个零点.由于为偶函数，所以在区间有两个零点.故在区间上有4个零点.所以④正确. 综上所述，正确的结论序号为①④. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 9、A 【答案解析】 由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域. 【题目详解】 ，，， 因此，函数的值域为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题. 10、B 【答案解析】 可画出图形，根据条件可得，从而可解出，然后根据，进行数量积的运算即可求出． 【题目详解】 如图： 点为的三条中线的交点 ， 由可得：， 又因，， . 故选：B 【答案点睛】 本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题. 11、A 【答案解析】 构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集. 【题目详解】 构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，，所以，所以. 由得，所以，故不等式的解集为. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 12、D 【答案解析】 利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解 【题目详解】 因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即. 故选：D 【答案点睛】 本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、(或写成) 【答案解析】 试题分析：设，取中点则,因此,所以，因为在单调递增，最大值为所以单调增区间是，最大值为 考点：函数最值，函数单调区间 14、 【答案解析】 由函数为偶函数，可得唯一零点为，代入可得数列的递推关系式，再进行配凑转换为等比数列，最后运用分部求和可得答案. 【题目详解】 因为为偶函数，在上有唯一零点， 所以，∴，∴， ∴为首项为2，公比为2的等比数列.所以，. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性和函数的零点,同时也考查了由递推关系式求数列的通项,考查了数列的分部求和，属于中档题. 15、1 【答案解析】 由正弦定理，结合，，可求出；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值. 【题目详解】 因为，所以由正弦定理可得，所以; 所以，当，即时，三角形面积最大. 故答案为(1). 1 (2). 【答案点睛】 本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型. 16、 【答案解析】 ∵多项式 满足 ∴令，得，则 ∴ ∴该多项式的一次项系数为 ∴ ∴ ∴ 令，得 故答案为5，72 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）证明见解析（2） 【答案解析】 （1）根据面面垂直的判定定理可知，只需证明平面即可． 由为菱形可得，连接和与的交点， 由等腰三角形性质可得，即能证得平面； （2）由题意知，平面，可建立空间直角坐标系，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，再分别求出平面的法向量，平面的法向量，即可根据向量法求出二面角的余弦值． 【题目详解】 （1）如图，设与相交于点，连接， 又为菱形，故，为的中点. 又，故. 又平面，平面，且， 故平面，又平面， 所以平面平面. （2）由是等边三角形，可得，故平面， 所以，，两两垂直.如图以