2023学年湖南省攸县二中等四校高考临考冲刺数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，是方程的两个不等实数根，记（）.下列两个命题（ ） ①数列的任意一项都是正整数； ②数列存在某一项是5的倍数. A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 2．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是( ) A． B． C． D． 3．如图，四面体中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，正方体的棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 6．已知双曲线：的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为 A． B． C． D． 9．以下关于的命题，正确的是 A．函数在区间上单调递增 B．直线需是函数图象的一条对称轴 C．点是函数图象的一个对称中心 D．将函数图象向左平移需个单位，可得到的图象 10．设，集合，则（　　） A． B． C． D． 11．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为( ) A． B． C． D． 12．已知随机变量X的分布列如下表： X 0 1 P a b c 其中a，b，.若X的方差对所有都成立，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为_____ 14．函数的值域为_____. 15．已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________. 16．抛物线上到其焦点距离为5的点有_______个． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB=PA＝4，E是PA的中点，AC，BD交于点O. （1）求证：OE∥平面PBC； （2）求三棱锥E﹣PBD的体积. 18．（12分）已知正实数满足 . （1）求 的最小值. （2）证明： 19．（12分）已知，且． （1）请给出的一组值，使得成立； （2）证明不等式恒成立． 20．（12分）已知函数． （1）解不等式； （2）若函数存在零点，求的求值范围． 21．（12分）已知三棱柱中，，是的中点，，. （1）求证：； （2）若侧面为正方形，求直线与平面所成角的正弦值. 22．（10分）椭圆：的离心率为，点 为椭圆上的一点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的实数，直线的斜率之积为定值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误. 【题目详解】 因为,是方程的两个不等实数根, 所以,, 因为, 所以 , 即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和, 又,, 所以,,, 以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确; 若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5, 由,,依次计算可知, 数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期, 故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误; 故选:A. 【答案点睛】 本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力. 2、C 【答案解析】 利用先求出，然后计算出结果. 【题目详解】 根据题意，当时，,, 故当时，, 数列是等比数列, 则，故, 解得, 故选. 【答案点睛】 本题主要考查了等比数列前项和的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础. 3、B 【答案解析】 分别取、的中点、，连接、、，利用二面角的定义转化二面角的平面角为，然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，在中计算出，再利用勾股定理计算出，即可得出球的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案． 【题目详解】 如下图所示， 分别取、的中点、，连接、、， 由于是以为直角等腰直角三角形，为的中点，， ，且、分别为、的中点，所以，，所以，，所以二面角的平面角为， ，则，且，所以，，， 是以为直角的等腰直角三角形，所以，的外心为点，同理可知，的外心为点， 分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，则点在平面内，如下图所示， 由图形可知，， 在中，，， 所以，， 所以，球的半径为，因此，球的表面积为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题． 4、B 【答案解析】 根据特殊值及函数的单调性判断即可； 【题目详解】 解：当时，，无意义，故排除A； 又，则，故排除D； 对于C，当时，，所以不单调，故排除C； 故选：B 【答案点睛】 本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题. 5、C 【答案解析】 以D为原点，DA，DC，DD1 分别为轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值． 【题目详解】 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则，，， 取平面的法向量为， 设直线EF与平面AA1D1D所成角为θ，则sinθ＝|， 直线与平面所成角的正弦值为. 故选C． 【答案点睛】 本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题． 6、D 【答案解析】 由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且都位于第一象限，且， 可知为的三等分点，且, 点在直线上，并且，则，， 设，则， 解得，即， 代入双曲线的方程可得，解得，故选D． 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)． 7、A 【答案解析】 是函数的零点，根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得． 【题目详解】 由题意，，∴函数在轴右边的第一个零点为，在轴左边第一个零点是， ∴的最小值是． 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数的零点就是其图象对称中心的横坐标． 8、A 【答案解析】 求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，， 求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【题目详解】 解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝−1， 过点P作PM垂直于准线，M为垂足， 由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1， 记∠KPF的平分线与轴交于 根据角平分线定理可得， ， 当时，， 当时，， ， 综上：． 故选：A． 【答案点睛】 本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题． 9、D 【答案解析】 利用辅助角公式化简函数得到，再逐项判断正误得到答案. 【题目详解】 A选项，函数先增后减，错误 B选项，不是函数对称轴，错误 C选项，，不是对称中心，错误 D选项，图象向左平移需个单位得到，正确 故答案选D 【答案点睛】 本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键. 10、B 【答案解析】 先化简集合A,再求. 【题目详解】 由 得： ，所以 ，因此 ，故答案为B 【答案点睛】 本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力. 11、D 【答案解析】 设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积. 【题目详解】 设圆柱的底面半径为,则其母线长为, 因为圆柱的表面积公式为， 所以,解得, 因为圆柱的体积公式为, 所以, 由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的， 所以所求圆柱内切球的体积为 . 故选:D 【答案点睛】 本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题. 12、D 【答案解析】 根据X的分布列列式求出期望,方差,再利用将方差变形为,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为,进而得出结论. 【题目详解】 由X的分布列可得X的期望为, 又, 所以X的方差 , 因为,所以当且仅当时,取最大值, 又对所有成立, 所以,解得, 故选:D. 【答案点睛】 本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、2025 【答案解析】 利用赋值法，结合展开式中各项系数之和列方程，由此求得的值.再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数. 【题目详解】 依题意，令，解得，所以，则二项式的展开式的通项为： 令，得，所以的系数为. 故答案为：2025 【答案点睛】 本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题. 14、 【答案解析】 利用配方法化简式子，可得，然后根据观察法，可得结果. 【题目详解】 函数的定义域为 所以函数的值域为 故答案为： 【答案点睛】 本题考查的是用配方法求函数的值域问题，属基础题。 15、 【答案解析】 设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，于此可得