2023学年湖南省益阳市高考仿真模拟数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ） A．5 B．3 C． D．2 2．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出四个命题： ①若，，，则；②若，，则； ③若，，，则；④若，，，则 其中正确的是（ ） A．①② B．③④ C．①④ D．②④ 3．函数（， ， ）的部分图象如图所示，则的值分别为（ ） A．2，0 B．2， C．2， D．2， 4．若集合，，则（ ） A． B． C． D． 5．如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 6．已知集合，定义集合，则等于（ ） A． B． C． D． 7．一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（ ） A． B． C． D． 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率 A． B． C． D． 10．函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 11．已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（） A． B． C． D． 12．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为________. 14．已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积是________. 15．已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________. 16．若，，则___________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵. 18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形． （1）求椭圆C的方程； （2）假设直线l：与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围． 19．（12分）已知数列的各项均为正数，且满足. （1）求，及的通项公式； （2）求数列的前项和. 20．（12分）已知，， （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，求边上的高的最大值． 21．（12分）已知椭圆过点且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为. （1）求椭圆C的标准方程： （2）设A是椭圆的左顶点，过右焦点F的直线，与椭圆交于P，Q，直线AP，AQ与直线 交于M，N，线段MN的中点为E. ①求证：； ②记，，的面积分别为、、，求证：为定值. 22．（10分）已知三棱锥中侧面与底面都是边长为2的等边三角形，且面面，分别为线段的中点.为线段上的点，且. （1）证明：为线段的中点； （2）求二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离. 【题目详解】 解：由抛物线方程可知，，即，.设 则，即，所以. 所以线段的中点到轴的距离为. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和. 2、D 【答案解析】 根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④. 【题目详解】 对于①，若，，，，两平面相交，但不一定垂直，故①错误； 对于②，若，，则，故②正确； 对于③，若，，，当，则与不平行，故③错误； 对于④，若，，，则，故④正确； 故选：D 【答案点睛】 本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题. 3、D 【答案解析】 由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案 【题目详解】 由函数图象可知： ， 函数的图象过点 ， ，则 故选 【答案点睛】 本题主要考查的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果 4、A 【答案解析】 用转化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可． 【题目详解】 解：由集合，解得， 则 故选：． 【答案点睛】 本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题． 5、B 【答案解析】 根据二次函数图象的对称轴得出范围，轴截距，求出的范围，判断在区间端点函数值正负，即可求出结论. 【题目详解】 ∵，结合函数的图象可知， 二次函数的对称轴为，， ，∵， 所以在上单调递增. 又因为， 所以函数的零点所在的区间是. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题. 6、C 【答案解析】 根据定义，求出，即可求出结论. 【题目详解】 因为集合，所以， 则，所以. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题. 7、B 【答案解析】 根据正四棱锥底边边长为，高为，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面的中心即为球心. 【题目详解】 如图所示： 因为正四棱锥底边边长为，高为， 所以 ， 到 的距离为， 同理到 的距离为1， 所以为球的球心， 所以球的半径为：1， 所以球的表面积为. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题. 8、A 【答案解析】 结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求，即可判断． 【题目详解】 图象上相邻两个极值点，满足， 即， ，，且， ，， ，，， 当时，为函数的一个极小值点，而． 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用． 9、B 【答案解析】 设，则，， 因为，所以．若，则，所以， 所以，不符合题意，所以，则， 所以，所以，，设，则， 在中，易得，所以，解得（负值舍去）， 所以椭圆的离心率．故选B． 10、A 【答案解析】 依题意有的周期为.而，故应左移. 11、A 【答案解析】 根据图象关于轴对称可知关于对称，从而得到在上单调递增且；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系. 【题目详解】 为偶函数 图象关于轴对称 图象关于对称 时，单调递减 时，单调递增 又且 ，即 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果. 12、D 【答案解析】 因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为. 点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由题意得，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可. 【题目详解】 原问题等价于， 当时，函数图象如图 此时， 则，解得：； 当时，函数图象如图 此时， 则，解得：； 当时，函数图象如图 此时， 则，解得：； 当时，函数图象如图 此时， 则，解得：； 综上，满足条件的取值范围为. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想. 14、 【答案解析】 将三棱锥补成长方体，设，，，设三棱锥的外接球半径为，求得的值，然后利用球体表面积公式可求得结果. 【题目详解】 将三棱锥补成长方体，设，，， 设三棱锥的外接球半径为，则， 由勾股定理可得， 上述三个等式全部相加得，， 因此，三棱锥的外接球面积为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查三棱锥外接球表面积的计算，根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键，考查推理能力，属于中等题. 15、2 【答案解析】 求出焦点到渐近线的距离就可得到的等式，从而可求得离心率． 【题目详解】 由题意，一条渐近线方程为，即， ∴ ，由得， ∴，，∴． 故答案为：2. 【答案点睛】 本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于的等式． 16、 【答案解析】 因为，所以，又，所以，则，所以． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 【答案解析】 运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【题目详解】 由特征值、特征向量定义可知，， 即，得 同理可得解得，，，.因此矩阵 【答案点睛】 本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单 18、（1）；（2）①；②. 【答案解析】 （1）根据椭圆的几何性质可得到a2，b2； （2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域． 【题目详解】 （1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以， 又由右准线方程为，得到， 解得，所以 所以，椭圆的方程为 （2）①设，而，则， ∵ ， ∴ 因为点都在椭圆上，所以 ，将下式两边同时乘以再减去上式，解得， 所以 ②由原点到直线的距离为，得，化简得： 联立直线的方程与椭圆的方程：，得 设，则，且 ， 所以 的面积