2023学年豫东名校高考冲刺模拟数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若单位向量，夹角为，，且，则实数（ ） A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－1 3．已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知平面，，直线满足，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 5．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为　　 A． B． C．2 D． 6．在中，在边上满足，为的中点，则（ ）. A． B． C． D． 7．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（ ）. A． B． C． D． 9．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤 10．记递增数列的前项和为.若，，且对中的任意两项与（），其和，或其积，或其商仍是该数列中的项，则（ ） A． B． C． D． 11．已知命题若，则，则下列说法正确的是（ ） A．命题是真命题 B．命题的逆命题是真命题 C．命题的否命题是“若，则” D．命题的逆否命题是“若，则” 12．已知与之间的一组数据： 1 2 3 4 3.2 4.8 7.5 若关于的线性回归方程为，则的值为（ ） A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，满足不等式组，则的取值范围为________． 14．已知内角，，的对边分别为，，．，，则_________． 15．已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________. 16．已知，则______，______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）记为数列的前项和，已知，等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 18．（12分）在数列中，已知，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 19．（12分）已知椭圆：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）为坐标原点，过作两条射线，分别交椭圆于、两点，若、斜率之积为，求证：的面积为定值. 20．（12分）在如图所示的多面体中，四边形是矩形，梯形为直角梯形，平面平面，且，，. （1）求证：平面. （2）求二面角的大小. 21．（12分）已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 22．（10分）已知函数． （1）讨论的单调性并指出相应单调区间； （2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 将 整理成的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【题目详解】 解：，所以所对应的点为在第一象限. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把 当成进行计算. 2、D 【答案解析】 利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数的值. 【题目详解】 由于，所以，即，，即，解得或. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题. 3、B 【答案解析】 构造函数（），求导可得在上单调递增,则 ,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知，要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果. 【题目详解】 构造函数（），则（），所以在上单调递增，所以，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得成立，设，，则，当时，单调递增；当时，单调递增.，整理得. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难. 4、A 【答案解析】 ，是相交平面，直线平面，则“” “”，反之，直线满足，则或//或平面，即可判断出结论． 【题目详解】 解：已知直线平面，则“” “”， 反之，直线满足，则或//或平面， “”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力． 5、B 【答案解析】 求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据列方程，化简后求得离心率. 【题目详解】 设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得，故 ，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B. 【答案点睛】 本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题. 6、B 【答案解析】 由，可得，，再将代入即可. 【题目详解】 因为，所以，故 . 故选：B. 【答案点睛】 本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题. 7、C 【答案解析】 求导，先求出在单增，在单减，且知设，则方程有4个不同的实数根等价于方程 在上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得. 【题目详解】 依题意，， 令，解得，，故当时，， 当，，且， 故方程在上有两个不同的实数根， 故， 解得. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法： (1)构造法：构造函数(易求，可解)，转化为确定的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出的图象草图，数形结合求解； (2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数. 8、C 【答案解析】 易得，，又，平方计算即可得到答案. 【题目详解】 设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形， 所以，又， 故，，， 所以，即， 故离心率为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题. 9、C 【答案解析】 设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列 则 由等差数列的性质得 ， 故选C 10、D 【答案解析】 由题意可得，从而得到，再由就可以得出其它各项的值，进而判断出的范围． 【题目详解】 解：，或其积，或其商仍是该数列中的项， 或者或者是该数列中的项， 又数列是递增数列， ， ，，只有是该数列中的项， 同理可以得到，，，也是该数列中的项，且有， ，或（舍，， 根据，，， 同理易得，，，，，， ， 故选：D． 【答案点睛】 本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题． 11、B 【答案解析】 解不等式，可判断A选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论. 【题目详解】 解不等式，解得，则命题为假命题，A选项错误； 命题的逆命题是“若，则”，该命题为真命题，B选项正确； 命题的否命题是“若，则”，C选项错误； 命题的逆否命题是“若，则”，D选项错误． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题. 12、D 【答案解析】 利用表格中的数据，可求解得到代入回归方程，可得，再结合表格数据，即得解. 【题目详解】 利用表格中数据，可得 又， ． 解得 故选：D 【答案点睛】 本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知在点处取得最小值，即，所以由图可知的取值范围为． 14、 【答案解析】 利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解. 【题目详解】 由正弦定理得， ，． 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题. 15、 【答案解析】 求出抛物线的焦点坐标，代入圆的方程，求出的值，再求出准线方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦长的一半，进而求出弦长． 【题目详解】 抛物线E: 的准线为，焦点为（0，1），把焦点的坐标代入圆的方程中，得，所以圆心的坐标为，半径为5，则圆心到准线的距离为1， 所以弦长． 【答案点睛】 本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式． 16、 【答案解析】 利用两角和的正切公式结合可得出的方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正、余弦公式结合弦化切思想求出和的值，进而利用两角差的余弦公式求出的值. 【题目详解】 ， ， ， . 故答案为：；. 【答案点睛】 本题主要考查三角函数值的计算，考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用，难度不大． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2）当时，；当时，. 【答案解析】 （1）利用数列与的关系，求得； （2）由（1）可得：，，算出公比，利用等比数列的前项和公式求出. 【题目详解】 （1）当时，， 当时， ， 因为适合上式， 所以. （2）由（1）得，， 设等比数列的公比为，则，解得， 当时，， 当时，. 【答案点睛】 本题主要考查数列与的关系、等比数列的通项公式、前项和公式等基础知识，考 查运算求解能力. . 18、（1）；（2）见解析. 【答案解析】 （1）由已知变形得到，从而是等差数列，然后利用等差数列的通项公式计算即可； （2）先求出数列的通项，再利用裂项相消法求出即可. 【题目详解】 （1）由已知，，即，又，则数列是以1为首项3 为公差的等差数列，所以，即. （2）因为，则， 所以，又 是递增数列，所以，综上，.