2023学年超级全能生高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．定义在R上的函数，，若在区间上为增函数，且存在，使得.则下列不等式不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 3．若点是角的终边上一点，则（ ） A． B． C． D． 4．在中，角的对边分别为，，若，，且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 5．已知集合,，则 A． B． C． D． 6．如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，，，，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 7．从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则　　 A． B． C． D． 8．数列的通项公式为．则“”是“为递增数列”的（ ）条件． A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要 9．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，且关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围（ ）． A． B． C． D． 11．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断： ①以为直径的圆与抛物线准线相离； ②直线与直线的斜率乘积为； ③设过点，，的圆的圆心坐标为，半径为，则． 其中，所有正确判断的序号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k的值为（ ）   A．45 B．60 C．75 D．100 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，若，，则双曲线的离心率是______. 14．若将函数的图象沿轴向右平移个单位后所得的图象与的图象关于轴对称，则的最小值为________________. 15．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为__________. 16．函数的最小正周期是_______________，单调递增区间是__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知，. （1）当时，证明：； （2）设直线是函数在点处的切线，若直线也与相切，求正整数的值. 18．（12分）已知函数，. （1）若对于任意实数，恒成立，求实数的范围； （2）当时，是否存在实数，使曲线：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点. （1）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值； （2）求二面角D-AP-B的余弦值； （3）试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明. 20．（12分）已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若正数、满足，求证：. 21．（12分）已知椭圆的右顶点为，点在轴上，线段与椭圆的交点在第一象限，过点的直线与椭圆相切，且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点. （Ⅰ）当为线段的中点时，求直线的方程； （Ⅱ）记的面积为，的面积为，求的最小值. 22．（10分）已知是圆：的直径，动圆过，两点，且与直线相切. （1）若直线的方程为，求的方程； （2）在轴上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恰好与轴相切？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可． 【题目详解】 由条件可得 函数关于直线对称； 在，上单调递增，且在时使得； 又 ，，所以选项成立； ，比离对称轴远， 可得，选项成立； ，，可知比离对称轴远 ，选项成立； ，符号不定，，无法比较大小， 不一定成立． 故选：． 【答案点睛】 本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2、C 【答案解析】 根据， 两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解. 【题目详解】 因为平面向量，满足，且， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以与的夹角为. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题. 3、A 【答案解析】 根据三角函数的定义，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，点是角的终边上一点， 根据三角函数的定义，可得， 则，故选A. 【答案点睛】 本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4、C 【答案解析】 由，可得，化简利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面积． 【题目详解】 解：，，且， ，化为：． ，解得． ． 故选：． 【答案点睛】 本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5、D 【答案解析】 因为,,所以,,故选D． 6、B 【答案解析】 试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故，． 考点：程序框图、茎叶图． 7、B 【答案解析】 由题意知，，由，知，由此能求出． 【题目详解】 由题意知，， ，解得， ， ． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用． 8、A 【答案解析】 根据递增数列的特点可知，解得，由此得到若是递增数列，则，根据推出关系可确定结果. 【题目详解】 若“是递增数列”，则， 即，化简得：， 又，，， 则是递增数列，是递增数列， “”是“为递增数列”的必要不充分条件． 故选：. 【答案点睛】 本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题. 9、A 【答案解析】 设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求. 【题目详解】 由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为, 所以每个等腰三角形的面积为, 所以圆的面积为,即, 所以当时,可得, 故选:A 【答案点睛】 本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力. 10、B 【答案解析】 根据条件可知方程有且只有一个实根等价于函数的图象与直线只有一个交点，作出图象，数形结合即可． 【题目详解】 解：因为条件等价于函数的图象与直线只有一个交点，作出图象如图， 由图可知，， 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题． 11、D 【答案解析】 对于①，利用抛物线的定义，利用可判断； 对于②，设直线的方程为，与抛物线联立，用坐标表示直线与直线的斜率乘积，即可判断； 对于③，将代入抛物线的方程可得，，从而，，利用韦达定理可得，再由，可用m表示，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，可得a，即可判断. 【题目详解】 如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点． 设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为， 显然，，三点不共线， 则．所以①正确． 由题意可设直线的方程为， 代入抛物线的方程，有． 设点，的坐标分别为，， 则，． 所以． 则直线与直线的斜率乘积为．所以②正确． 将代入抛物线的方程可得，，从而，．根据抛物线的对称性可知， ，两点关于轴对称，所以过点，，的圆的圆心在轴上． 由上，有，， 则． 所以，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，所以． 于是，， 代入，，得， 所以． 所以③正确． 故选：D 【答案点睛】 本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题. 12、B 【答案解析】 根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算． 【题目详解】 由题意，． 故选：B. 【答案点睛】 本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据三角形中位线证得，结合判断出垂直平分，由此求得的值，结合求得的值. 【题目详解】 ∵，∴为中点，，∵，∴垂直平分，∴，即，∴，，即. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 14、 【答案解析】 由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得的最小值. 【题目详解】 解：将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，可得 的图象. 根据图象与的图象关于轴对称，可得， ，，即时，的最小值为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题. 15、 【答案解析】 如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，计算得到，得到答案. 【题目详解】 如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为， 则，所以，所以球的半径， 则球的表面积为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥补成长方体是解题的关键. 16、 ，， 【答案解析】 化简函数的解析式，利用余弦函数的图象和性质求解即可． 【题目详解】 函数， 最小正周期， 令，，可得，， 所以单调递增区间是，，． 故答案为：，，，． 【答案点睛】 本题主要考查了二倍角的公式的应用，余弦函数的图象与性质，属于中档题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）证明见解析；（2）. 【答案解析】 （1）令，求导，可知单调递